Примеры выполнения заданий работы

Задание 1.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения у' = cosy + 3x на отрезке [0; 1] при заданном начальном условии у(0) = 1,3 и шаге интегрирования h = 0,2 с помощью метода Эйлера.

Решение: x₀ = 0; у₀ = 1,3 – начальные условия.

Δу₀ = 0,2(cos1,3 + 3∙ 0) = 0,05; х₁ = 0 + 1∙ 0,2= 0,2; у₁= 1,3 + 0,05 = 1,35; …

i	xi	yi	∆yi = h(cos yi + 3хi)
0	0	1,3	0,05
1	0,2	1,35	0,16
2	0,4	1,52	0,25
3	0,6	1,77	0,32
4	0,8	2,09	0,38
5	1	2,47

Задание 2. Произвести те же вычисления с шагом h/2.

Решение: Шаг уменьшают вдвое для оценки точности h/2 = 0,2/2 = 0,1 Производят аналогичные заданию 1 вычисления, получая вдвое больше значений.

Задание 3. Свести результаты вычислений в одну таблицу и сопоставить точность полученных значений функции.

Решение: Для сопоставления значений, их помещают в одну таблицу:

xi	yi (h)	yi (h/2)
0	1,3	1,3
0,1		1,33
0,2	1,35	1,38
0,3		1,46
0,4	1,52	1,56
0,5		1,68
0,6	1,77	1,82
0,7		1,98
0,8	2,09	2,15
0,9		2,33
1	2,47	2,53

Сравнивая значения, можно сказать, что при выбранном шаге точность вычислений ε = 0,1.

Задание 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения у' = cosy + 3x на отрезке [0; 1] при заданном начальном условии у(0) = 1,3 и шаге интегрирования h = 0,2 с помощью метода Эйлера - Коши.

Вычисления представим в табличной форме:

i	xi	yi
0	0	1,3	4,167498	2,133499	0,066525	0,423402
1	0,2	1,723402	5,018192	2,727041	0,284703	0,53029
2	0,4	2,253692	6,13003	3,479698	0,856615	0,698665
3	0,6	2,952357	7,874922	4,527341	2,216006	1,009093
4	0,8	3,96145	11,20202	6,201854	3,996694	1,519872
5	1	5,481322