10.4. Расчетные длины сжатых элементов

Определение гибкости сжатого элемента связано с установлением его расчетной длины l₀, которая в свою очередь зависит от фактической длины колонны (стойки) l_col и условий ее закрепления в верхних и нижних узлах. Теоретически для этой цели могут быть использованы уравнения строительной механики и формула Эйлера для центрально нагруженного линейно-упругого призматического стержня с шарнирно-подвижным закреплением на концах:

. (10.8)

В геометрической интерпретации расчетной длиной стойки l₀ является такая длина, в пределах которой деформированная ось элемента образует полуволну синусоиды. Тогда расчетную длину сжатого элемента можно записать:

. (10.9)

В соответствии с нормативными документами в системах с упруго-податливыми узлами (например, в местах соединения колонны с ригелем) коэффициент b_l определяют в зависимости от коэффициента жесткости К закрепления концов А и В стойки. Соответствующие значения коэффициентов жесткости К_А и К_В определяют по формуле:

, (10.10)

где: E_cm – средний модуль упругости бетона;

J_col и J_b – соответственно момент инерции сечения колонны и балки, опирающейся на колонну;

l_col – длина колонны;

l_b,eff – расчетный пролет балки, соединенной с колонной;

a – параметр, учитывающий условия закрепления противоположного конца сопрягаемого с рассматриваемой колонной балочного элемента:

a = 1,0 – жесткое или частичное закрепление;

a = 0,5 – шарнирное закрепление;

a = 0 – консольный элемент.

Значение b_l (k_A, k_B) определяют по формулам:

• для элементов несмещаемых каркасов как меньшее из двух значений:

(10.11)

(10.12)

где K_min – меньшее из значений К_А и К_В;

• для защемленных с обоих концов элементов смещаемых каркасов:

в области K_m < 2

; (10.13)

в области K_m ³ 2

; (10.14)

. (10.15)

При этом для колонн с шарниром на одном из концов

, (10.16)

где К – параметр на защемленном конце.

10.5. Метод расчета, основанный на проверке «устойчивой прочности» гибкого элемента

Метод «устойчивой прочности» относится к методам второй группы. Если принять, что упругая линия внецентренно сжатого элемента с шарнирными закреплениями по концам имеет вид синусоиды, т.е.

(10.17)

где f – прогиб элемента в середине пролета,

то дополнительный изгибающий момент, вызванный действием продольного изгиба, составит:

. (10.18)

Тогда полный прогиб а в общем случае можно определить из уравнения:

, (10.19)

где: а₀ – начальный прогиб, вызванный действием поперечной нагрузки;

– момент от единичной силы, приложенной в середине пролета по направлению искомого перемещения.

Полный момент в середине пролета составит:

, (10.20)

где M_Sd,0 – момент в середине пролета от поперечной нагрузки.

, (10.21)

где:

. (10.22)

Принимая во внимание, что – это, по существу, Эйлерова критическая сила N_crit, указанная формула может быть записана в виде:

. (10.23)

Значение критической силы N_crit для железобетонного элемента можно рассматривать как сумму критических сил для бетонного сечения N_crit,c и арматуры N_crit,s. На основании экспериментальных исследований с учетом специфики железобетона (неупругой работы, особенно в стадиях, близких к разрушению) для определения критической силы N_crit нормы используют формулу, предложенную Е.А. Чистяковым и К.Э. Талем:

, (10.24)

где: J_c и J_s – соответственно моменты инерции бетонного сечения площадью А_с и арматуры A_s;

. (10.25)

При применении данной формулы значения e₀/h должны приниматься не менее граничных значений:

и . (10.26)

Ползучесть бетона учитывается коэффициентом k_lt, равным:

, (10.27)

где: N_Sd,lt – продольная сила от длительно действующей части нагрузки;

j(¥,t₀) – предельное значение коэффициента ползучести для бетона.

Влияние гибкости сжатого элемента несмещаемого каркаса на его несущую способность учитывают путем расчета его прочности как внецентренно сжатого элемента с учетом увеличения изгибающих моментов для сечений у концов рассматриваемого элемента и в середине трети его длины соответственно по формулам:

, но не менее М₁, (10.28)

, (10.29)

, (10.30)

, (10.31)

где М₁ – момент у рассматриваемого конца элемента;

М₂ – максимальный момент в пределах средней трети длины элемента. Для ступенчатых колонн за отдельный элемент принимают часть колонны с постоянными размерам поперечного сечения.

, (10.32)

где M_max – наибольший из изгибающих моментов в опорных сечениях колонн (всегда положительный);

M_min – меньший момент (может быть обоих знаков).

Полный расчетный эксцентриситет продольной силы N_Sd, определенный с учетом продольного изгиба, составит:

, , (10.33)

где: e_a – случайный эксцентриситет, принимаемый в зависимости от типа конструкции, длины элемента l_col и высоты сечения (по большему значению):

– в плосконапряженных (балках-стенках) и каркасных системах с несмещаемыми узлами; l_col – расстояние между точками закрепления элемента; для консольных элементов l_col = l₀;

– в каркасных системах со смещаемыми узлами; для элементов «n»-го этажа считая от верхнего;

e_a = 10 мм – для монолитных конструкций стен, оболочек, а также 20 мм – для сборных элементов, за исключением стен и оболочек;

, здесь h – высота сечения элемента в плоскости действия расчетного момента;

– эксцентриситет, определяемый из статического расчета:

здесь M_Sd – полный расчетный момент в сечении, вычисленный по деформационному расчету или с приближенным учетом продольного изгиба.

Расчетная длина колонн смещаемых каркасов определяется в соответствии с ранее изложенными положениями. При гибкости ≤22 влияние продольного изгиба можно не учитывать.

Расчетный изгибающий момент M_1,sd по концам колонны определяют по формуле:

(10.34)

где: - расчетный изгибающий момент у рассматриваемой опоры, определенный из линейно-упругого расчета от действия нагрузок, не вызывающих смещение каркаса;

- то же, но от действия нагрузок, вызывающих смещение каркаса;

- коэффициент увеличения момента в гибких сжатых элементах смещаемых каркасов.

Изгибающие моменты от смещения рамы с учетом продольного изгиба предпочтительно определять, рассматривая упругую стержневую систему и принимая во внимание влияние продольных сил на реакции от единичных перемещений конечных элементов.

Величину коэффициента допускается определять по формуле:

(10.35)

где: - сумма условных критических сил во всех колоннах, сопротивляющихся смещению;

- сумма всех расчетных вертикальных сил в колоннах рассматриваемого этажа.