Определение момента сил трения в подшипнике маятника Обербека

Постановка задачи. На шкив маятника Обербека радиусом r намотана нить, к концу которой привязан груз массой m₁. Груз опускается с высоты h. Определить момент сил трения в подшипнике маятника Обербека при его вращении, если известны время ₁ движения груза m₁, момент инерции маятника Обербека I₁; после изменения момента инерции до величины I₂ время движения груза m₁ оказывается равным ₂. Изменение момента инерции маятника Обербека производится перемещением грузов равной массы m вдоль стержней установки (рис. 9.1).

Указания к решению. Момент инерции маятника с грузами равен I=I₀+I_гр, где I₀- момент инерции маятника без грузов: I_гр- момент инерции грузов, закрепленных на стержнях. Считаем, что размеры грузов массой m малы по сравнению с их расстоянием до оси вращения (грузы считаем “точечными”), тогда

I=I₀+4mR². (9.17)

Здесь R – расстояние от центров масс грузов до оси вращения. Изменяя положение грузов на стержнях, можно изменить момент инерции маятника Обербека

. (9.18)

Запишем уравнения (9.1) и (9.2) для двух опытов, в которых моменты инерции маятника Обербека равны I₁ и I₂, а время движения груза m₁ равно ₁ и ₂ соответственно. При этом получим систему уравнений

I₁₁=T₁r-M_тр,

m₁a₁=m₁g-T₁,

I₂₂=T₂r-M_тр, (9.19)

m₁a₂=m₁g-T₂.

Эта система дополняется кинетическими уравнениями движения груза m₁:

, (9.20)

причем a₁=₁r, a₂=₂r.

Решая систему уравнений (9.19), (9.20) с учетом соотношения (9.18), определим момент сил трения в подшипнике:

. (9.21)

Определение отношения моментов сил, действующих на маятник Обербека при его движении, для случаев, когда нить намотана на шкивы радиусами r1 и r2

Постановка задачи. На шкив маятника Обербека радиусом r₁ намотана нить, к концу которого привязан груз массой m₁. Груз опускается с высоты h за время ₁. Момент инерции маятника Обербека I, масса груза m₁ известны, время движения груза ₁ измеряется в опыте. Аналогичные измерения производятся для случая, когда нить намотана на шкив радиусом r₂.

Указания к решению. Момент инерции маятника с заданными расстояниями грузов m до оси вращения определяем из (9.17). Используя (9.1), (9.2) и (9.3), а также соотношения между линейным ускорением груза а и угловым ускорением маятника Обербека а=r, находим

. (9.22)

Аналогично для радиуса шкива r₂:

. (9.23)

Из (9.22) и (9.23) получаем

. (2.24)

Это теоретическое соотношение проверяем экспериментально: из (9.2) и (9.3) получаем

.

Отсюда

. (9.25)

Проверка формулы для периода колебаний физического маятника на установке “Маятник Обербека”

Постановка задачи. Маятника Обербека (как это показывает его название) дает возможность исследовать колебания массивного тела относительно неподвижной горизонтальной оси. Сместим один из грузов m дальше от оси вращения (рис.9.2). Тогда маятник, отклоненный от положения равновесия, будет совершать колебания. Определяя период колебания с помощью секундомера, можно проверить формулу для периода колебаний физического маятника.

Указания к решению. Запишем уравнение вращательного движения для маятника Обербека (рис.9.2). Если маятник отклонить от положения равновесия на малый угол  (sin), то

. (9.26)

Здесь M_jz- алгебраическое значение момента силы тяжести, действующего на систему со стороны груза m_j. Для j=1,2,3 значения R₁=R₂=R₃=R, для j=4 имеем R₄>R. Согласно принятому правилу, положительными считаем моменты сил, вращающих тел против часовой стрелки. Отсюда

I=M₁+M₂-M₃-M₄.

Учитывая, что , получим

I=M₂-M₄. (9.27)

Подставляя в (9.27) значения

I=I₀+3mR²+mR₄²;

;

= mgR₂ sin  mgR ;

= mgR₄ sin  mgR₄ ;

получим дифференциальное уравнение малых колебаний маятника Обербека

.

Вводя общепринятое уравнение

, (9.28)

где ₀-циклическая частота колебаний

, (9.29)

убедимся подстановкой, что решение уравнения (9.28) имеет вид

.

Здесь ₀-максимальный угол отклонения; ₀- начальная фаза колебаний. Из условия периодичности для функции cos(₀t+) находим период колебаний физического маятника

. (9.30)

Полученный результат сравнивается с экспериментальным

.

Здесь  - время десяти полных колебаний маятника Обербека.