Теоретические основы работы

Установка, называемая маятником Обербека, предназначена для изучения вращательного движения тела или системы тел, находящихся на стержнях (рис. 9.1).

Маятник Обербека (рис.9.1) представляет собой цилиндрическую муфту с ввинченными в нее четырьмя жесткими стержнями. На стержнях закреплены грузы массой m каждый. Изменяя положение грузов на стержне, можно менять момент инерции системы. С муфтой жестко соединены два шкива, на которые может быть намотана нить с привязанным к ней грузом m₁. При движении груза m₁ нить разматывается и маятник Обербека вращается с постоянным ускорением.

Движение груза m₁ с высоты h можно описать уравнением второго закона Ньютона, вращательное движение маятника Обербека можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения. В проекции на ось 0z, перпендикулярную чертежу, основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

Здесь I_z- момент инерции маятника Обербека относительно оси 0^'z, _z- угловое ускорение в проекции ни ось 0^’z, - алгебраическая сумма моментов сил, действующих на маятник в проекции на ось 0^’z. В дальнейших выкладках индекс z опускаем.

О пределение момента инерции грузов, находящихся на стержнях маятника Обербека

Постановка задачи. Груз массой m₁ подвешен на нить, намотанную на штатив маятника Обербека радиусом r. На стержнях закреплены четыре груза равной массы m. Время движения груза m₁ с высоты h равно ₂. В отсутствии грузов время движения груза m₁ с высоты h равно ₁.

Определить момент инерции грузов, закрепленных на стержнях маятника Обербека.

Указания к решению. Момент инерции маятника Обербека с закрепленными на стержнях грузами m обозначим I=I_гр+I₀, где I_гр- момент инерции грузов, I₀ – момент инерции маятника Обербека без грузов.

Запишем второй закон Ньютона для тела m₁ в проекции на ось 0y (рис.9.1) и основное уравнение вращательного движения для маятника Обербека (моментом сил трения здесь пренебрегаем):

-m₁g+T₁=-m₁a₁; (9.1)

T₁r=I₁ (9.2)

Соотношения (9.1) и (9.2) необходимо дополнить кинетическим уравнением движения груза

(9.3)

В случае, когда грузы сняты со стержней маятника Обербека, уравнения (9.1). (9.2) и (9.3) примут вид

-m₁g+T₂=-m₁a₂; (9.4)

T₁r=I₀₂ (9.5)

(9.6)

При решении систем уравнений (9.1)-(9.3) и (9.4)-(9.6) учитываем, что a₁=₁r и a₂=₂r (нить не проскальзывает). Отсюда получим

. (9.7)

Определение момента инерции маятника Обербека с учетом сил трения в подшипнике маятника

Постановка задачи. Определить момент инерции маятника Обербека с учетом момента сил трения в подшипнике маятника, если груз m₁, привязанный к нити, намотанной на шкив маятника радиусом r, спускается с высоты h за время . При этом маятник совершает n₁ оборотов до момента падения груза и n₂ после падения груза до полной остановки (в момент удара груза нить освобождается).

Указания к решению. Исследуем два этапа в движении маятника Обербека. Первый этап- движение до момента, когда груз m₁ касается подставки и нить освобождается. Второй этап- вращательное движение маятника по инерции от момента касания грузом m₁ подставки и вплоть до полной остановки маятника.

Воспользуемся законом изменения механической энергии на первом этапе движения W=A_1тр. Для данной задачи этот закон принимает вид

(9.8)

Здесь ₁-скорость движения груза m₁ непосредственно перед моментом касания плоскости, ₁- угловая скорость маятника Обербека в этот момент. Дополним (9.8) кинетическими уравнениями движения груза m₁:

(9.9)

При этом учитываем, что

(9.10)

Работу сил трения в подшипнике маятника Обербека на первом этапе движения запишем в виде

. (9.11)

Здесь  - коэффициент пропорциональности; знак минус отражает тот факт, что работа сил трения приводит к уменьшению механической энергии вращающегося тела. Из (9.11) видно, что при решении принято допущение о независимости силы трения от скорости вращения маятника Обербека.

На втором этапе движения (до полной остановки) закон изменения механической энергии принимает вид

. (9.12)

Работу сил трения во время второго этапа движения представим формулой, аналогичной (9.11)

. (9.13)

Из (9.12) и (9.13) находим коэффициент , характеризующий силу трения в подшипнике

, (9.14)

Подставляя выражение для  в (3.11), находим работу сил трения на первом этапе движения

. (9.15)

Подставим (9.15) в (9.8) и учтем соотношения (9.9) и (9.10). Найдем

. (9.16)