8.3. Схема абсолютно упругого удара 8.4. Область существенного смятия при абсолютно упругом ударе двух шаров

Определение средней силы взаимодействия соударяющихся шаров по радиусу площади их смятия в момент соударения

Постановка задачи. Определить среднюю длину взаимодействия шаров равной массы m₁=m₂=m, равного радиуса R_1`=R₂=R при упругом ударе. Угол начального отклонения правого шара равен , длины подвесов (до центра масс шаров) l₁=l₂=l, модули упругости материала шаров E₁=E₂=E, коэффициенты Пуассона ₁=₂=.

Указание к решению. В момент абсолютно упругого удара происходит смятие шаров за счет возникающих при ударе сил упругости (рис.8.3). Здесь R- радиус шаров, f-стрелка смятия, u=2f - сближение центров шаров в момент удара, 2а- диаметр площади смятия.

Из геометрических соображений (см. рис.8.3)

(8.18)

Учитывая, что угол  мал, оставляем лишь правые два члена в разложении

Из малости  следует также

Отсюда из (8.18) получим

(8.19)

Отметим, что соотношение (8.19) имеет смысл лишь при u<<R.

На площади смятия вследствие действия внешних сил возникает напряжение (сила, действующая на единицу площади)



Отсюда, используя известный закон Гука = / Е, получим выражение для относительной деформации  (рис.8.4):

 

Точнее, с учетом трехмерного обжатия со стороны недеформированных частей шара



где - коэффициент Пуассона. Стрелки смятия

f a . (8.20)

Используя выражение (8.19) и (8.20), определим размер радиуса смятия:

 . (8.21)

Заметим, что точное выражение имеет вид

.

Отсюда можно оценить среднюю силу взаимодействия при ударе

Fa³ (8.22)

Указание: для получения отпечатка площади смятия между шарами следует вложить между ними папиросную бумагу с копировальной. Размеры отпечатка определяются с помощью специального микроскопа.

Проверка формулы Герца для соударяющихся упругих шаров

Постановка задачи. Применяя закон сохранения энергии в процессе соударения упругих шаров и учитывая нелинейный характер задачи (силы упругости растут с ростом радиуса смятия и с увеличением сближения шаров, Генрих Герц вывел соотношение (подробнее можно познакомиться с задачей Герца в книге[8]) между временем соударения и скоростью налетающего шара:   (1/)^1/5. Здесь - время соударения; - скорость налетающего шара.

Указания к решению. Скорость шара в момент начала соударения определяется из рис. 8.1. Задача решается с использованием закона сохранения энергии. Пусть в первый момент соприкосновения шаров механическая энергия . Тогда по мере взаимодействия и сближения шаров растет потенциальная энергия взаимодействия, а кинетическая энергия движущегося шара убывает. Из закона сохранения механической энергии имеем

(8.23)

Зависимость силы упругости от сближения шаров u получаем из (2.21)

F(-u3/2).

Из известного соотношения между потенциальной энергией и силой упругости

получим

W_потu^5/2; W_пот=ku^5/2. (8.24)

Здесь коэффициент пропорциональности k зависит от радиуса шаров и свойств материала. Из (8.23) и (8.24) получим уравнение

(8.25)

Максимальное сближение шаров достигается при du/dt0. Решив уравнение (8.25), определим время , в течение которого длится соударение (при этом u меняется от 0 до u_mas и обратно). Хотя уравнение (8.25) легко решается разделением переменных, закон Герца запишем без вывода

  .

Здесь, как и ранее, коэффициент пропорциональности зависит от масс и размеров шаров, свойств материала. Для проверки закона Герца следует построить график, где по оси абсцисс отложить ₀, а по оси ординат произведение ²₀.

Указание: при малых углах  возможна замена sin. Отметим, что  надо рассчитать в радианах.