Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А₁, А₂, . . . , А_n - некоторые множества. Их прямым или декартовым произведением называется множество упорядоченных наборов из n элементов, т.е.

А₁А₂ . . . А_n={(а₁, а₂, . . . , а_n) | a_iA_i }.

Если все множества A_i совпадают A=А₁=А₂= . . . =А_n, то прямое произведение А₁А₂ . . . А_n=Aⁿ называют прямой n-ой степенью множества А.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество RAB. Если множества A и B совпадают А=В, то R называют бинарным отношением на множестве А.

Если (x, y)R, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.

Приведем примеры бинарных отношений.

Пусть A=B=R, пара (x, y) является точкой вещественной плоскости. Тогда бинарное отношение

R₁ = { (x, y) | x² + y² 1 }

определяет замкнутый круг единичного радиуса с центром в точке (0,0) на плоскости, отношение

R₂ = { (x, y) | x  y }

полуплоскость, а отношение

R₃= { (x, y) |  |x-y|  1 }

полосу.

Диагональ множества AA, т.е. множество ={(x,x) | xA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.

Областью определения бинарного отношения R называется множество

_R={ xA | yB, (x, y) R }.

Областью значений бинарного отношения R называется множество

_R={ yB |  xA, (x, y)R }.

Образом множества X относительно отношения R называется множество

R(X) = { yB | xX, (x, y)R };

прообразом X относительно R называется R ^-1(X).

В теории выбора и принятия решений большую роль играют бинарные отношения предпочтения, то есть такие отношения, согласно которым в паре (x, y)R элемент x в каком-то смысле лучше чем y. Например:

- в смысле отношения R₂ "лучше" означает "больше или равно";

- в смысле отношения R₃ понятие "лучше" может означать "отстоит не больше чем на единицу".

Операции над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество на котором введены бинарные отношения R, R₁, R₂,...

1) Объединение двух бинарных отношений R₁ и R₂ - это отношение

R₁R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ или (x, y)R₂ }.

2) Пересечение двух бинарных отношений R₁ и R₂ - это отношение

R₁R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ и (x, y)R₂ }.

3) Обратное отношение R ^–1 = { (x, y) | (y, x)R}.

4) Дополнение к отношению ={ (x, y) | (x, y)(AA)\R}.

5) Двойственное отношение R^d = .

6) Композиция (суперпозиция) отношений R=R₁oR₂  содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое zA, что (x, y)R₁ и (z, y)R₂.

7) R₁ содержится в R₂ (R₁  R₂), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношению R_1, также принадлежит и отношению R₂.

Свойства операций над отношениями

Приведем здесь список основных свойств операций над отношениями и докажем некоторые из них.

1)  R_k ^-1=( R_k ^-1. k k

2)  R_k ^-1=( R_k  ^-1. k k

3) (R₁ o R₂) ^-1 = R₁ ^-1o R₂ ^-1.

4) (R₁ o R₂ )oR₃ = R₁o(R₂ o R₃).

5) (R₁  R₂ )oR₃ = (R₁ oR₃ )( R₂o R₃ ).

6) (R₁  R₂ )oR₃  (R₁ oR₃ )( R₂o R₃ ).

7)  а) если R₁ R₂ то R₁o R₃ R₂o R₃;

б) если R₁  R₂ то R₁^-1 R₂^-1;

в) если R₁  R₂ то R₃oR₁  R₃oR₂.

8. a) (R₁ R₂)^d = R₁^d R₂^d;

б) (R₁ R₂)^d = R₁^d R₂^d;

в) (R ^d)^d = R.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Свойство 2.

Пусть пара (x, y)( R_k  ^-1. Тогда (y, x) R_k. Это означает, что найдется отношение R_j, что (y, x) R_j. Отсюда, по определению обратного отношения, (x, y)R_j^-1, а значит, (x, y)R_k^-1и (R_k^-1   R_k^-1.

Докажем обратное включение. Пусть (x,y) R_k^-1 Это означает, что найдется такое множество R_j, что (x,y)R_j^-1. Следовательно, (y, x)R_j  и (y, x) R_k , поэтому (x, y)( R_k ^-1. Значит,    R_k^-1  (R_k^-1.

Одновременное выполнение обоих включений означает равенство множеств, что и требовалось доказать.

Свойство 6.

Пусть (x, y)(R₁ R₂)oR₃. По определению композиции это означает, что найдется такое zA, что (x, z)(R₁R₂) и (z, y)R₃.

Первое включение возможно только тогда, когда одновременно выполнено (x, z)R₁ и (x, z)R₂. Это, в свою очередь означает, с учетом (z, y)R₃, что одновременно (x, y)R₁oR₃ и (x, y)R₂oR₃, а, следовательно, (x, y)(R₁oR₃)(R₂oR₃), что и доказывает требуемое соотношение.

ЗАМЕЧАНИЕ. Покажем, почему неверно обратное включение. Пусть (x, y)(R₁oR₃)(R₂oR₃), тогда (x, y) (R₁oR₃) и (x, y) (R₂oR₃). Первое включение означает существование такого элемента z₁  из A, что (x, z₁)R₁ и (z₁, y)R₃, второе - существование такого z₂A, что (x, z₂)R₂ и (z₂, y)R₃, причем необязательно z₁=z₂. Значит, не всегда существует такой элемент z, что (x, z)R₁ и (x, z)R₂, а, следовательно, не будет принадлежности пересечению R₁ и R₂.

Свойство 7б.

Возьмём любую пару (x, y)R₁, что эквивалентно (y, х) R₁^-1. Пусть теперь R₁R₂, т.е. из (x, y)R₁ следует (x, y)R₂. Перейдя к обратным отношениям, получим, что из (y, х)R₁^-1 вытекает (y, х)R₂^-1, что и означает требуемое свойство.

Свойство 8а.

Докажем предварительно равенство =

Пусть (x, y) . Следовательно, (y, x) R или, другими словами, (y, x)R. Отсюда, ( x, y) R^-1, что означает  и (x, y)R^-1 . Если же (x, y) R^-1 , то (x, y)R^-1 и (y, x)R. Тогда (y, x)R или, что то же самое, (x,y)(R )^-1.

Для доказательства свойства 8а воспользуемся доказанным равенством и известными свойствами операций над множествами и отношениями.

(R₁R₂)^d = ( R₁R₂)^-1 = R₁R₂^-=(R₁R₂) =R₁^-1  R₂^-1 = R₁^d  R₂^d.