Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
Задача выбора возникает, когда из некоторого конечного или
бесконечного множества надо отобрать подмножество в каком-то смысле хороших элементов. Подмножество отбираемых элементов называется выбором, а правило их отбора - функцией выбора.
Более строго функцию выбора можно определить следующим образом. Пусть А - множество элементов из которых осуществляется выбор, ХА - множество допустимых решений (предъявление), а С(Х)Х - множество отобранных точек (выбор). Отображение : ХC(Х) называется функцией выбора. Алгоритм реализующий эту функцию выбора называется механизмом выбора.
Рассмотрим примеры наиболее распространенных механизмов выбора.
1) Скалярный оптимизирующий механизм - выбор вариантов, при которых некоторая скалярная функция f(х) достигает максимума.
Сопт(Х) = { хХ | х=arg max f(x) }
2) Условно-оптимальный механизм - выбор по схеме математического программирования, т.е. выбор таких хХ, при которых достигается условный максимум скалярной функции f0(x) при выполнении системы ограничений.
Смп(Х) = { хХ | х=arg[ max f0(x)|f i(х)0, i=1,..,m] }
3) Механизм доминирования по бинарному отношению R – выбор тех хХ, которые с любым элементом из Х находится в отношении R (элемент х лучше любого y в смысле отношения предпочтении R).
СR(Х)={ хХ | yХ : (x,y)R }
4)Механизм блокировки по бинарному отношению R - выбор тех элементов xX, для которых в Х нет элемента лучше в смысле отношения предпочтения R.
СR(Х) = { хХ | yХ : (x,y)R }
5) Механизм ограничений по бинарному отношению R отбирает те элементы х, которые с фиксированной точкой u образует пару в R.
Сu(Х) = { хХ | (x, u)R }
6) Паретовский механизм осуществляет выбор таких элементов х, для которых нет элемента y лучшего чем х сразу по всем критериальным функциям f i(х).
Сpar(Х) = { хХ | не yХ : f i(y)f i(x) i=1,..,m }
7) Турнирный механизм - выбор такого х, при котором достигает максимума турнирная функция f R(x). Ее можно трактовать, как число очков, набранных элементом х во время турнира со всеми элементами из Х.
СT(Х) = { хХ | х=arg max f R(x) };
1
xRy
и yRx
0
yRx
и xRy
1/2
в остальных случаях.
f
R
(x, y) =
f R(x)
=
f
R
(x,y)
y
При решении задачи выбора возникают 2 подзадачи.
1) Задача анализа - организация выбора по заданному механиз-
му выбора и предъявлению.
2) Задача синтеза - построение механизма выбора по известно-
му выбору на предъявлении Х и результату выбора С(х).
Классификация функций выбора
Обозначим - множество всех возможных функций выбора. Простейшая классификация различает следующие подмножества :
а) >0 - подмножество функций непустого выбора, т.е. таких
функций, выбор по которым содержит хотя бы один элемент.
б) 1 - подмножество функций однозначного выбора, т.е. таких функций, выбор по которым содержит ровно один элемент.
Ясно, что 1 >0 .
Приведем без доказательства следующие теоремы о функциях выбора.
ТЕОРЕМА 1. Бинарное отношение R порождает функцию непустого выбора, основанную на механизме доминирования или блокировки тогда и только тогда, когда R ациклично.
ТЕОРЕМА 2. Бинарное отношение R порождает функцию однозначного выбора, основанную на механизме доминирования или блокировки тогда и только тогда, когда R ациклично и слабополно.
Более тонкая классификация функций выбора основывается на наличии или отсутствии у них следующих свойств.
1) H: (YX) => C(X)YC(Y) - свойство наследования.
Наличие этого свойства означает, что элемент b, выбираемый на множестве Х, будет также выбран на любом более узком содержащем его подмножестве Y. Иными словами, при переходе к рассмотрению элемента b на более узком множестве, его свойство быть выбранным сохраняется (наследуется).
2) C: X = YZ => (C(Y)C(Z))C(X) - свойство согласия.
Наличие этого свойства означает, что элемент b, выбираемый одновременно на любых составных частях некоторого множества Х, будет также выбран на всем Х.
3) О: (C(X)YX) => (C(Y) = C(X)) - свойство отбрасыва-
ния или независимости от отбрасывания отвергнутых вариантов. Оно означает, что выбор на любом множестве Y, содержащем выбор C(X) совпадает с C(X). Т.е. выбор не зависит от того, сколько "плохих" элементов пришлось отбросить при выборе.
4) K: (YX) => (C(Y) = Y(X)) - свойство строгого нас-
ледования (константности).
Перечислим ряд закономерностей, которые вытекают из названных свойств функций выбора.
Пусть (H), (C), (O), (K) - множества функций выбора,
удовлетворяющих соответствующим свойствам.
ТЕОРЕМА 3. (K)(H)(C)(O). Т.е. если функция выбора
обладает свойством K, то она обладает одновременно свойствами H, C, O.
ТЕОРЕМА 4. Для того чтобы функции выбора порождалась бинарным отношением R посредством механизма доминирования или блокировки, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области (H)(С).
ТЕОРЕМА 5. Для того чтобы функция выбора порождалась качественным порядком необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области (H)(С)(O).
ТЕОРЕМА 6. Для того чтобы функция выбора порождалась слабым порядком необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области (К).
Свойства Н, С, О кажутся очень естественными при выборе. Тем не менее, несложно привести пример, когда эти свойства не выполняются .
Пусть Х - множество точек на плоскости ограниченных прямоугольником АBCD: A(0,0), B(0,4), C(2,4), D(2,0)
Ставится следующая задача выбора: на множестве Х найти геометрическое место центров кругов, включенных в Х, максимального радиуса. Покажем что соответствующая функция выбора не обладает ни одним из свойств H, K, O, C.
1) Пусть Х = АBCD; Y = АEFD; E(0,2), F(2,2) (Рис. 1). Тогда
множеством центров кругов максимального радиуса, вписанных в ABCD, яввляется отрезок PQ (C(X)=PQ), где P(1,3), Q(1,1). Тогда C(X)Y = QR. Очевидно, что C(Y)=Q. Получили, что на множестве X нашлось такое подмножество Y, что хотя
YX, тем не менее множество YC(Х) не включено в C(Y), т.е нарушаются условия H и K.
P
R
Q
B
N
M
A
D
P
Q
C
O
T
B
E
A
D
C
F
Рис. 1
Рис. 2
2) Пусть Y = MNOT: M(0,1), N(0,3), O(2,3), T(2,1) (Рис. 2).
Так как, по прежнему, C(X) = PQ, а C(Y)=R(3,3), то
C(X)YX.Равенство C(X)=C(Y) при этом не выполняется, т.е нарушается условие O.