- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
4. Производящие функции
4.1. Определение производящих функций. Последовательности {un}, фигурирующей в какой-либо задаче, например, комбинаторной, удобно поставить в соответствие формальный степенной ряд
u(x) = ,
который называется производящей функцией данной последовательности. Слова “формальный ряд” означает, что эту формулу мы трактуем только как удобную запись последовательности. Для нас сейчас несущественно, при каких значениях х ряд сходится и сходится ли вообще, т.к. вычислять значение u(x) мы никогда не будем.
Пример 3.5. Известно, что = 1 + х + х2 + … + хn + … Следовательно, функция является производящей для последовательности 1,…, 1.
Пример 3.6. Согласно формуле бинома Ньютона (1 + х)n = . Следовательно, функция (1 + х)n является производящей для конечной последовательности .
4.2. Операции с производящими функциями. Рассмотрим основные технические приемы, применяемые в работе с производящими функциями.
4.2.а. Линейная комбинация. Если функция u(x) соответствует последовательности {un}, а v(x) – последовательности {vn}, то функция au(x) + bv(x) (a и b – константы) является производящей для последовательности { aun + bvn}.
4.2.б. Сдвиг. Если функция u(x) соответствует последовательности {un}, то функции хmu(x) соответствует последовательность … – сдвиг вправо.
Аналогично, функция является производящей для последовательности um, um+1, … – сдвиг влево.
4.2.в. Умножение. Если функция u(x) соответствует последовательности {un}, а v(x) – последовательности {vn}, то функции u(x)v(x) соответствует последовательность {wn}, где
– формула Коши. Например, w0 = u0v0; w1 = u0 v1 + u1 v0; w2 = u0 v2 + u1 v1 + u2 v0.
Пример 3.7. Пусть u(x) соответствует последовательности {un}, а v(x) = – производящая функция для последовательности 1,…, 1 (см. пример 3.5). Тогда функция
= u0 + (u0 + u1) x + (u0 + u1 + u2) x2 +… (3.9)
является производящей для последовательности частичных сумм.
4.2.г. Дифференцирование и интегрирование. Если u(x) соответствует последовательности {un}, то по правилу дифференцирования рядов
u(x) = 0 + u1 + 2 u2 x + 3 u3 x2 + ….
То есть u(x) является производящей функцией для последовательности {k uk}.
Аналогично . То есть является производящей функцией для последовательности .
Пример 3.8. = . Следовательно, функция является производящей для последовательности {k}.
Далее,
(3.10)
Следовательно, является производящей функцией для последовательности .
Сопоставляя (3.10) с (3.9) получаем
,
где – гармонические числа.
4.3. Пример использования производящих функций
Решим с помощью производящих функций следующую комбинаторную задачу.
Пример 3.9. На окружности находится 2n точек. Сколькими способами можно их попарно соединить так, чтобы полученные отрезки не соединялись друг с другом?
Решение. Обозначим un – число способов соединить 2n точек. Построим рекуррентное соотношение.
Формально положим u0 = 1 (нет точек, нет пересечений, следовательно, способ единственный). u1 = 1 – очевидно, т.к. две точки соединяются единственным способом, и пересечений нет. u2 = 2. Способы соединения изображены на рис. 3.1.
Рис.
3.1. Способы соединения 4-х точек
Пусть n > 1. Выберем одну из 2(n + 1) точек, обозначим ее А. Соединим А с вершиной В, выбрав ее так, чтобы с обеих сторон от соединяющей их линии находилось четное число точек. Пусть слева будет 2k точек, справа – 2(n – k). 2k точек можно соединить между собой uk способами, 2(n – k) точек – un–k способами. При этом линии не пересекутся, т.к. 2k и 2(n – k) точек расположены по разные сторона от АВ.
Следовательно, при фиксированном k получим ukun–k способов соединения. Но k меняется от 0 до n. Следовательно,
un +1 = u0un + u1un–1 + … + unu0. (3.11)
Получили искомое нелинейное рекуррентное соотношение, формула общего решения которого нам, к сожалению, неизвестна.
Чтобы получить явную формулу для un, построим для этой последовательности производящую функцию.
u(x) = u0 + u1х + u2 x2 + u3 x3 + …. (3.12)
Имеем, согласно формуле Коши:
[ u(x) ]2 = (u0)2 + (u0u1 + u1u0 ) х + (u0u2 + u1u1 + u2u0)х2 + …
Видно, что коэффициенты для разложения [ u(x) ]2 можно получить с помощью формулы (3.11).
Из (3.12) имеем: = u1 + u2 x + u3 x2 + ….
Подставим в эту формулу выражение uk согласно (3.11). С учетом того, что u1 = (u0)2 получим: . Следовательно, имеем квадратное уравнение относительно u(х). Решив его, получим .
По формуле бинома имеем:
+ +…= 1 – .
Умножим каждое k-е слагаемое на 1 = . Тогда коэффициент k-го члена ряда равен:
= = = .
Отсюда
.
Для того, чтобы коэффициенты ряда были положительными, надо перед корнем в формуле u(x) брать знак “–”. Заменим индекс суммирования k на k +1. В результате получим:
u(x) = = = .
Окончательно – это так называемые, числа Каталана.