Аналитический аппарат комбинаторики

Формулы и алгоритмы, рассмотренные в теме 1, дают способы вычисления комбинаторных чисел для некоторых распространенных конфигураций. Однако, практические задачи далеко не всегда непосредственно сводятся к ним. В этом случае чрезвычайно важно знание методов сведения одних конфигураций к другим, либо общих методов, не столь зависящих от конкретных комбинаторных структур. Рассмотрим наиболее популярные из таких методов.

1. Принцип включения и исключения

1.1. Вывод формулы. Пусть имеем N объектов и некоторый набор свойств а₁, …, а_n, которыми могут обладать эти объекты. Обозначим N(i) – число объектов, обладающих свойством а_i, и вообще N(i₁, …, i_k) – число объектов, обладающих одновременно всеми свойствами . Пусть N(0) – число объектов, не обладающих ни одним из свойств а_i. Справедлива формула включения и исключения:

N(0) = N – + + …

+ (– 1)^k + … + (–1)ⁿ N(1, 2, … , n). (3.1)

Символ 1  i₁ < i₂ <…< i_k  n под знаком суммы означает, что суммирование ведется по всем комбинациям i₁, i₂,…, i_k так, чтобы выполнялось указанное соотношений. Доказательство проведем с помощью индукции по n – число свойств.

1⁰. n = 1. N(0) = N – N(1). Всего существует одно свойство. От общего числа объектов отнимем количество объектов, обладающих этим свойством – узнаем, сколько объектов этим свойством не обладают.

2⁰. Пусть для n – 1 свойств справедлива формула

N(0) = N – + + …

+ (– 1)^k + … + (–1)ⁿ N(1, 2, … , n – 1). (3.2)

Пусть теперь имеем множество, все элементы которого обладают свойством а_n, и, возможно, обладают свойствами а₁, …, а_n–1. Очевидно, для этого множества формула (3.2) также верна и имеет вид:

N(0, n) = N(n) – + … +

+(–1)^n–2 + (–1)^n–1N(1, 2, … , n – 1, n). (3.3)

В (3.3) везде в скобках дописано n, т.к. все элементы множества свойством а_n обладают. Вычтем (3.3) из (3.2):

N(0) – N(0, n) = N – + + … – (–1)^n–1 N(1, 2, … , n – 1, n).

Отсюда

N(0) – N(0, n) = N – + +… + (–1)ⁿ N(1, 2,…,n).

Справа мы получили требуемую формулу. А что слева? N(0) – число элементов, не обладающих свойствами а₁, …, а_n–1, но, возможно, обладающих свойством а_n. N(0, n) – число элементов, не обладающих свойствами а₁, …, а_n–1, но обязательно обладающих свойством а_n. Следовательно, N(0) – N(0, n) – число элементов, не обладающих ни одним из свойств а₁, …, а_n, т.е. требуемая величина. Формула доказана.

Пример 3.1. Староста класса подал следующие сведения о классе. Всего в классе 45 учеников, из них 25 мальчиков. 30 человек учится без троек, из них – 16 мальчиков; 28 человек занимаются спортом, из них – 18 мальчиков и 17 хорошистов и отличников; 15 мальчиков учатся без троек и одновременно занимаются спортом. Классный руководитель внимательно посмотрел список и сказал, что в сведениях есть ошибка. Как он это узнал?

Решение. Обозначим a₁ – свойство принадлежности к мужскому полу; a₂ – хорошая успеваемость; a₃ – занятие спортом. Тогда N = 45, N(1) = 25, N(2) = 30, N(3) = 28, N(1, 2) = 16, N(1, 3) = 18, N(2, 3) = 17, N(1, 2, 3) = 15. Итого N(0) = 45 – 25 – 28 + 16 + 18 + 17 – 15 = – 2 – ошибка.