Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие

Для бинарных отношений нет устоявшейся терминологии. В данном пособии использованы названия специальных бинарных отношений из [5].

Бинарные отношения нас интересуют, прежде всего, с точки зрения теории принятия решений. Для этого необходимо построить такие отношения, свойства которых позволили бы их использовать в этой области. При принятия решений, как минимум, надо уметь из 2-х элементов выбрать лучший, т.е. нужно построить такое отношение предпочтения, минимально необходимым свойством которого, является асимметричность.

Введем следующие отношения.

P_уп - отношение строгого упорядочения, обладающее свойством асимметричности.

I_уп - отношение безразличия. Это отношение исключает P^d_уп

между двумя элементами, т.е.

x I_уп y <=> ( xP_уп у и yP_уп x ). (1)

Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат P_уп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y. Если воспользоваться понятием пересечения отношений, то I_уп можно также представить в виде

I_уп =P_уп P^d_уп . (2)

Покажем, что I_уп рефлексивно и симметрично.

Симметричность. Отношение xI_упy означает, что (x, y)P_уп и (y, x)P_уп. Отношение же yI_упx означает, что (y, x)P_уп и (x, y)P_уп. Т.е. xI_упy и yI_упx абсолютно эквивалентны. Значит, I_уп симметрично.

Рефлексивность. Так как P_уп антирефлексивно, то (x, x) P_уп и по определению (x, x)I_уп . Значит, I_уп рефлексивно.

Можно дать другое определение отношения I_уп, как симметричного, рефлексивного отношения.

На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение

R_уп = P_уп I_уп, (3)

которое называется нестрогим упорядочением.

Докажем, что R_уп полно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем любую пару (x, y). Для нее возможны три случая:

а) (x, y)P_уп; б) (y, x)P_уп;

в) (x, y)P_уп и (y, x)P_уп, т.е. (x, y)I_уп.

Если имеют место случаи а) или в), то по свойству объединения (x, y)R_уп. Если выполняется б) или в), то (y, х)R_уп. Иными словами, в любом случае либо пара (x, y), либо (y, x) принадлежит R_уп. Значит, R_уп полно.

Свойство полноты можно взять за определение отношения R_уп.

Рассмотрим основные свойства отношений P_уп и R_уп.

1. а) P_уп  P^d_уп = P^d_уп;

б) P_уп  P^d_уп = P_уп; в) I =P_уп  P^d_{уп .}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Докажем свойства а) и б). Пусть (x,y)P_уп. Тогда, в силу асимметричности, (y, x)P_уп, а значит, (x, y)P^d_уп по определению двойственного отношения. Таким образом, из (x, y)P_уп следует (x, y) P^d_уп, а это означает, что P_уп P^d_уп. Тогда, по свойствам объединения и пересечения множеств, P_уп P^d_уп = P^d_уп, a P_уп = P^d_уп P_уп, что и требовалось доказать.

Докажем свойство в). Пусть (x, y)I_уп. Тогда, по определению I_уп, будем иметь

(x, y) P_уп и (y, x) P_уп.

Второе соотношение эквивалентно тому, что (x, y)P^d_уп. Следовательно, из (x, y)I_уп одновременно вытекает (x, y)P^d_уп и (x,y) P_уп , т.е. (x, y) P_упP^d_уп и I_уп PP^d_уп.

Докажем обратное включение. Ход рассуждений представим в виде схемы:

(x, y) P_уп



(x, y)  P^d_уп

(x, y)P_уп

(y, x)P_уп

(x, y)I_уп

Ч

(x, y)P_уп P^d_уп 

то и требовалось доказать.

2. R_уп = P^d_уп; P_уп = R^d_уп , т.е. P_уп и R_уп образуют двойственную пару.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению R_уп = P_упI_уп . Воспользуемся представлением (2) отношения безразличия I_уп. Тогда R_уп = P_уп(P_уп P^d_уп ) = (P_уп P_уп)( P_уп P^d_уп). Так как (P_уп P_уп)=АА, то R_уп = P_уп P^d_уп, а по свойству 1а) R_уп = P^d_уп.

Второе равенство непосредственно вытекает из свойства 8в п.2 для произвольного отношения R. При R=P_уп получим R^d_уп=( P^d_уп)^d = P_уп.