- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
На основе понятий смежности, связности и достижимости на графах определяют специальные подмножества вершин.
База – минимальное множество В вершин, из которых достижима любая вершина графа. База обладает следующими свойствами.
1) Каждая вершина графа достижима хотя бы из одной вершины множества В
2) В множестве В нет вершин, которая достижима из другой вершины множества В.
Доминирующее множество (внешне устойчивое множество) графа – такое множество S вершин, что любая вершина из V\S смежна с какой-нибудь вершиной из S. Иными словами uV\S vS: (v, u) E. Доминирующее множество называется минимальным, если его подмножество уже не является доминирующим.
Независимое множество (внутренне устойчивое множество) графа – множество N несмежных вершин. То есть u, v N (u, v)E. N называется максимальным независимым множеством, если любое множество H, включающее в себя N, уже не является независимым.
Вершинное покрытие. Говорят, что вершина покрывает инцидентное ей ребро. Множество U таких вершин, которые покрывают все ребра графа, называется вершинным покрытием графа. Вершинное покрытие минимальной мощности называется минимальным вершинным покрытием.
Клика (максимально полный подграф) – множество вершин К, такое, что построенный на нем подграф является полным и для любого множества H, включающего в себя К, построенный на нем подграф уже не является полным.
а) База – т.к. граф связный, то любая вершина может быть базой.
б) Доминирующие множества – {8, 7, 2, 5}, {7, 5, 1}, {1, 4}, {4, 6}. Два последних – минимальные доминирующие множества.
в) Максимальные независимые множества – {8, 7, 2, 5}, {7, 5, 1}, {1, 4}. А {2, 7, 5} независимое, но не максимальное, т.к. включено в {8, 7, 2, 5}.
г) Вершинные покрытия – {6, 3, 1, 4}, {8, 3, 2, 4, 1}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Минимальное вершинное покрытие – {6, 3, 1, 4} мощности 4.
д) Клики – {1, 2, 6}, {1, 6, 8}, {3, 4, 5}. А {1, 2, 6, 8} – не клика, т.к. нет ребра (2, 8).
5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Теорема 5.1. (о независимости и доминировании). Независимое множество вершин максимально тогда и только тогда, когда является доминирующим.
Доказательство. Необходимость. Пусть N – максимальное независимое множество. Предположим противное, что оно не доминирующее. Это значит, что есть вершина v, несмежная ни с одной вершиной из N. Тогда v можно добавить к N с сохранением у N независимости. Это противоречит тому, что N – максимальное.
Достаточность. Пусть N – независимое доминирующее множество. Предположим противное, что оно не максимальное. Это значит, что есть вершина v, несмежная ни с одной вершиной из N. Это противоречит тому, что N – доминирующее.
Теорема 5.2. (об эквивалентности вершинных множеств). Для любого неориентированного графа G = (V, E) и подмножества WV следующие утверждения эквивалентны.
1) W – вершинное покрытие графа G.
2) V \ W – независимое множество графа G.
3) V \ W – клика в графе .
Доказательство. 1) 2). Пусть W – вершинное покрытие. Возьмем любое ребро (u, v) E. Тогда, по определению вершинного покрытия, либо u W, либо v W. То есть u и v не могут одновременно принадлежать V \ W. Значит, если одновременно u V \ W и v V \ W, то (u, v) E. Это означает, что V \ W – независимое множество.
2) 3). Пусть U V – какое-нибудь независимое множество. Значит для любой пары вершин u, v U будет (u, v) E или . Следовательно, U – клика в графе . Обозначим W = V \ U, тогда U = V \ W – получим нужное следствие.
3) 1). Пусть U – клика в графе . Значит для любой пары вершин u, v U будет (u, v) E. Это значит, что если (u, v) E, то или u U либо v U. Другими словами из (u, v) E следует, что либо u V \ U, либо v V \ U. Следовательно, V \ U – вершинное покрытие G. Обозначим W = V \ U (т.е. U = V \ W), получим, что если V \ W – клика в графе , то W – вершинное покрытие.