- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Лекция № 7 Слабый порядок
Введенное отношение строгого упорядочения обладает слишком малым набором свойств, чтобы его можно было применить для решения практических задач организации выбора. Поэтому, кроме асимметричности нужны другие свойства, например, транзитивность или негатранзитивность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Асимметричное, негатранзитивное отношение Pсл назовем слабым порядком.
Кроме того, по аналогии с Iуп введем отношение Iсл
xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл)
или
xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл).
Назовем его отношением эквивалентности. Введем также отношение
Rсл = Pсл Iсл,
называемое нестрогим слабым порядком . Из определения следует, что Pсл Pуп . Так как Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда следует
(x, y)Pуп.
В качестве примера Rсл можно привести отношение "".
Рассмотрим свойства слабого порядка и порожденных им отношений.
1) Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл.
2) Iсл = Rsсл , Pсл = Raсл.
3) Для любых x,yA выполняется одно и только одно из соот-
ношений: xPслy, yPслx, xIслy.
4) Отношение Pсл транзитивно.
5) Отношение Iсл рефлексивно, симметрично, транзитивно.
6) Отношение Rсл транзитивно и полно.
Докажем свойство 4). Для этого докажем вспомогательное утверждение, что любое отношение Р негатранзитивно тогда и только тогда, когда
xPy zА, xPz или zPy. (4)
Предположим противное, что отношение Р негатранзитивно, но свойство (4) не выполняется, т.е.
xPy и z : xPz и zP y. (5)
Так как Р негатранзитивно, то из (5) следует одновременное выполнение xРy и xPy, а этого быть не может, поэтому из негатранзитивности следует свойство (4).
Докажем обратное следствие. Предположим противное, т.е. что (4) выполнено, но Р не является негатранзитивным. Последнее означает, что
x,y,zA : xPz, zPy, но (x, y) P,
т.е. (x, y)P. Таким образом, получаем, что xPy выполняется, а xPz и zPy не выполняется, и, значит, (4) неверно, что противоречит предположению. Полученное противоречие доказывает требуемое следствие.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству свойства 4). Предположим, что x, y, z таковы, что выполняются соотношения xPслy и yPслz. Запишем для них условие (4):
xPслy z : xPслz или zPслy;
yPслz x : yPслx или xPслz.
Вспомним, что отношение Pсл асимметрично, т.е. xPслy и yPслx, а также yPслz и zPслy не могут выполнятся одновременно. Поэтому, из xPслy может следовать только xPслz, а из yPслz - также только xPслz. Объединив оба этих следствия, получим, что
xPслy и yPслz xPслz,
т.е. Pсл транзитивно.
Докажем свойство 5).
Ранее, в п.6, было доказано, что Iуп рефлексивно и симметрично. Аналогично доказывается рефлексивность и симметричность Iсл. Поэтому остается доказать транзитивность Iсл.
Пусть x, y, zA таковы, что xIслy и yIслz, покажем, что (x, z)Iсл. По определению Iсл, отношение xIслy эквивалентно выполнению условий (x, y)Pсл и (y, x)Pсл, а отношение yIслz - (y, z)Pсл и (z, y)Pсл. В силу негатранзитивности Pсл получим, что (x, z)Pсл и (z, x)Pсл. Следовательно, (x, z)Iсл по определению Iсл.
ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности считают определяющими свойствами отношения эквивалентности.