Лекция № 2 Отображения

Пусть Х - некоторое числовое множество. Говорят, что на множестве Х определена функция f, если каждому числу xХ ставится в соответствие определенное число y=f(x). Множество Х – область определения функции, а множество Y={f(x) | xX} - область значений функции. Если в качестве множеств Х и Y рассматривать множества произвольной природы, а не только числовые, мы приходим к понятию отображения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А и В - два произвольных множества. Говорят, что на А определено отображение f, принимающее значения из В (f : A B), если каждому элементу x из А ставится в соответствие  _единственный . элемент y= f(x) из B.

Множество элементов xA, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается _f.

Если имеется какой-либо элемент хА, то соответствующий ему элемент yB будем называть образом x. Пусть C - некоторое подмножество множества A, образом множества C называется множество вида {f(x) | xC}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается _f (т.е. _f =f(_f)=f(X)).

Если задать yВ, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x) будем называть прообразом y и обозначать f^-1(y), f^-1(y)={xX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f^-1 неоднозначно.

Отображение i : A  A такое, что i(x)=x для любого xA называется тождественным отображением.

Пусть f : A  B и g : B  C. Отображение h : A  C, такое, что каждому элементу xA ставится в соответствие единственный элемент h(x) = g(f(x)), называется композицией (или суперпозицией) отображений f и g и обозначается g o f.

Отображение f : А  В называется сюръекцией А на В, если множество образов всех элементов из А совпадают с множеством В. Это обозначается как f(А) = В. Другое эквивалентное определение сюръекции - это отображение, при котором каждый элемент из В имеет прообраз в множестве А.

Если для любых x₁, x₂A таких, что x₁x₂, получается, что f(x₁)f(x₂), т.е. разным элементам соответствуют различные образы, то это отображение f называется инъекцией.

Отображение f, которое является одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением. 

Если между А и В установлено биективное отображение, то говорят, что множества А и В эквивалентны. Эквивалентность множеств обозначается A~B.

Основные свойства отображений можно сформулировать в виде следующих теорем.

ТЕОРЕМА 1. f ^-1(AB) = f ^-1(A)f ^-1(B) - прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xf ^-1(A)f ^-1(B). Тогда или xf ^-1(A) или хf ^-1(B). В первом случае y=f(x)А, во втором yВ. В любом случае yАВ, поэтому xf^-1(AB).

Докажем обратное включение. Пусть xf ^-1(AB), тогда y=f(x)AB. Значит или yА, или yВ. Если yА, то f ^-1(y)  f ^-1(A). Так как xf ^-1(y), то отсюда следует, что xf ^-1(A). Если же yВ, то f ^-1(y)f ^-1(B), что влечет xf ^-1(В). В любом случае   xf ^-1(A)f ^-1(B). Поэтому, если xf ^-1(AB), то xf ^-1(A)f ^–1(B), что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. f ^-1(AB)=f ^-1(A)f ^-1(B) - прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xf ^-1(AB), тогда y=f(x)AB. Значит, yА и yВ. Если yА, то f ^-1(y)f ^-1(A), а если yВ, то f ^-1(y)f ^-1(B). Эти включения должны выполняться одновременно, следовательно, f ^-1(y)f ^-1(A)f ^-1(B), а значит, хf ^-1(A)f ^-1(B). Таким образом, f ^-1(AB)f ^-1(A)f ^-1(B).

Докажем обратное включение. Пусть xf ^-1(A)f ^-1(B), тогда xf ^-1(A) и xf ^-1(B). Если xf ^-1(A), то y=f(x)A. Если же xf ^-1(B), то y=f(x)B. Так как yA и yB, то yAB и поэтому f ^-1(y)  f ^-1(AB). Значит,  хf ^-1(AB) и отсюда следует, что f ^-1(A)f ^-1(B)  f ^-1(AB).

Эти два включения означают, что f ^-1(AB)=f ^-1(A)f ^-1(B), что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть yf(AB), тогда для любого x из множества f ^-1(y) выполняется принадлежность хAB. Поэтому xA или xB. В первом случае y=f(x)f(A), во втором случае y=f(x)f(B). Так как yf(A) или yf(B), то yf(A)f(B) и, следовательно, f(AB)f(A)f(B).

Докажем обратное включение. Пусть yf(A)f(B), тогда yf(A) и f ^-1(y)A или yf(B) и f ^-1(y)B. Соответственно получаем, что xA или xB, т.е. xAB и тогда y=f(x) f(AB). Доказано включение f(A)f(B)f(AB). Следовательно, f(AB)=f(A)f(B).

ЗАМЕЧАНИЕ. Образ пересечения двух множеств не обязательно совпадает с пересечением их образов. Рассмотрим пример.

Пусть A и B - множества точек на плоскости:

A = { (x, y) | 0  x  1, y=2 },

B = { (x, y) | 0  x  1, y=1 }.

С помощью проектирования точек на ось ОХ построим отображение А и В на множество С = { (x, y) | 0  x  1, y=0 }. Так как f(A) = C, f(B) = C, то f(A)f(B) = C. Но множества A и B не пересекаются и f(AB)=f()=, т.е. мы показали, что f(AB) f(A)f(B).

Теоремы 1, 2, 3 остаются в силе при любом конечном и бесконечном числе множеств. Например, теорема 1 примет вид:

где A₁, A₂, . . . - некоторая система множеств.

Докажем (1) с помощью метода математической индукции.

1. При n=2 равенство f ^-1(A₁A₂)=f ^-1(A₁)f ^-1(A₂) справедливо согласно доказанной теореме 1.

2. Предположим, что равенство верно при любом n  k.

3. Докажем, что равенство верно при n = k+1.

Обозначим

B = .

Тогда

f ^-1( )=f ^-1(BA_k+1)= f ^-1(B)f ^-1(A_k+1),

так как для двух множеств В и A_k+1 теорема верна. Но по предположению индукции для k множеств теорема также верна, поэтому

f ^-1(B)= .

Отсюда следует требуемое равенство.

Множества, между которыми можно установить биективное отображение называются эквивалентными.

Легко видеть, что эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A~B и B~C, то A~C. Признаки эквивалентности множеств дают следующие

ТЕОРЕМЫ Кантора-Бернштейна.

1. Если ABC, причем A~C, то A~B.

2. Если A эквивалентно подмножеству множества B, а B эквивалентно подмножеству множества A, то A~B.