- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Задача векторной оптимизации
В классических задачах оптимизации необходимо найти минимум или максимум скалярной функции - функции цели или критерия эффективности. Но в практических задачах редко удается свести эффективность к одному показателю.
Пример. Пусть необходимо сконструировать самолет. Основными, одинаково важными, критериями эффективности конструкции являются скорость и дальность полета. Увеличивая дальность полета самолета, мы уменьшаем его скорость и наоборот. Такая ситуация называется конфликтом критериев.
В том случае, когда имеется несколько конфликтующих критериев, говорят, что имеет место задача векторной оптимизации.
F(x) = { f 1(x), f 2(x),..., f n(x) } орt,
где f i- частные критерии эффективности.
Как правило, не существует такой точки в которой все f i оптимальны. Поэтому в задаче векторной оптимизации ищут компромиссное решение. Для эффективного поиска такого решения необходимо, чтобы число возможных допустимых вариантов было как можно меньше.
Для достижения такой цели задачу разбивают на 2 этапа.
1) Поиск нехудших (недоминируемых) решений в смысле безусловного критерия предпочтения (БКП). Множество таких точек называется множеством Парето.
2) Выбор компромиссного решения на множестве Парето.
Рассмотрим пример [6]. Пусть имеем два критерия эффективности q1(x) и q2(x), зависящих от одного аргумента х, каждый из которых необходимо минимизировать ( Рис.3 ).
Обозначим Х1 и Х2 - точки минимума критериев q1(x) и q2(x),
соответственно. Разобьем область определения аргумента х на три участка: I, II, III. Осуществим на каждом участке выбор точек, лучших по Парето, т.е. по обоим критериям одновременно:
а) Cpar(I) = Х1 - выбор на I участке есть точка X1;
б) Cpar(III) = X2 - выбор на III участке есть точка X2;
в) на участке II нет точки, которая была бы лучше остальных
сразу по обоим критериям, т.е. он весь состоит из конфликтующих точек, следовательно, Cpar(II)=[X1, X2].
X1
X2
I
II
III
Чтобы найти множество Парето в общем случае надо реализовать функцию выбора на основе паретовского механизма (механизма блокировки в смысле бинарного отношения Парето) (см. п.6). Для того чтобы построить эту функцию достаточно организовать сравнение предлагаемых вариантов по каждой критериальной функции. Для этой задачи можно достаточно легко построить алгоритм решения, т.е она формализуема.
Для задачи второго этапа необходимо применять неформальные методы выбора, основанные на интуитивных предпочтениях эксперта или лица принимающего решения (ЛПР).
Для организации паретовского механизма выбора необходимо произвести парные сравнения исходных вариантов и отбросить те, для которых найдется доминирующий элемент. Если исходное множество велико, то метод попарного сравнения трудоемок, т.к в общем случае необходимо произвести m(m-1)/2 сравнений, где m – число сравниваемых вариантов.
Более эффективен следующий алгоритм, который производит последовательное накопление элементов искомого множества.
Обозначим X = {xi} - исходное множество сравниваемых вариантов. Для него будем производить отсев плохих точек и получение множества П(Х), содержащее точки Парето.
begin П(Х):={х1};
for i:=2 to m do
П(Х):=Cpar ({xi} П(Х) );
end.
При реализации этого алгоритма возможны три случая:
1) Для хi существует такой у П(Х), что у Par xi. В этом случае необходимо прекратить сравнение хi с паретовскими точками и перейти к хi+1.
2) Для хi существует такой у П(Х), что xi Par у. В этом
случае необходимо исключить y из П(Х) и продолжить сравнение хi с оставшимися точками пока не будет просмотрено все текущее множество П(Х). Если процесс сравнения не прекратился раньше, чем было просмотрено все П(X), то хi необходимо включить в П(Х).
3) Для хi не существует такого у П(Х), чтобы у Par xi или xi Par у. В этом случае y не исключают и продолжают сравнение хi с оставшимися точками также, как и в случае 2).
Обычно множество недоминируемых точек содержит значительно меньше элементов, чем исходное т.е k = |П(Х)|<<|Х| = m. В этом случае нужно провести O(mk) сравнений, т.е. значительно меньше, чем при всевозможных парных сравнениях.
Данный алгоритм даст верное решение, если для любых множеств X и Y выполняется условие:
CR(X Y) = CR( X CR(Y)) (1)
ТЕОРЕМА. Соотношение (1) выполняется, если функция выбора обладает свойствами Н и О.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вспомним свойства
- наследования: (Y X) => C(X) Y C(Y);
- отбрасывания: (C(X) Y X) => (C(Y) = C(X)).
Покажем, что при их выполнении CR(XY) XCR(Y).
Пусть х CR(XY). Если х X, то х XCR(XY). Пусть теперь х Y, тогда х CR(XY)Y. В силу свойства наследования получим, что Y XY, поэтому CR(XY)Y C R(Y). Значит, x CR(Y), а, следовательно, x XCR(Y), что доказывает
утверждение.
Обозначим A = XY, B = XCR(Y). По доказанному ранее CR(XY) XCR(Y) XY. Тогда по свойству отбрасывания CR(A) = CR(B) или СR(XY) = СR(XСR(Y)), что и требовалось доказать.
Условие (1) в частности выполняется, если R – качественный порядок (см. п.11, ТЕОРЕМА 5). T.к отношение Парето таковым является, то алгоритм позволяет построить искомое конфликтное множество.