5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями

Пусть имеем дробно-рациональную функцию

f(x) = = ,

которая разлагается в ряд f₀ + f₁x + f₂ x + …. Отсюда A(x) = B(x)f(x). Подставим вместо f(х) ее ряд – получим систему уравнений:

b₀ f₀ = a₀;

b₀ f₁ + b₁ f₀ = a₁;

b₀ f₂ + b₁ f₁ + b₂ f₀ = a₂;

………………………..

b₀ f_{m –1} + b₁ f_{m –2} +… + b_{m –1} f₀ = a_{m – 1};

b₀ f_m + b₁ f_{m –1} +… + b_m f₀ = 0;

………………………………..

b₀ f_{m + n} + b₁ f_{m –1 + n} +… + b_m f_n = 0;

……………………………

Во всех уравнениях, начиная с m+1-го, правая часть равна 0, т.к. a_{m + 1} = … = a_{m + n} =…= 0. Следовательно, имеем линейное рекуррентное соотношение

b₀ f_{m + n} + b₁ f_{m –1 + n} +… + b_m f_n = 0, (3.13)

которому удовлетворяют члены ряда для функции f(x). Таким образом, мы получили теорему о связи производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями:

Теорема 3.5. Для того, чтобы производящая функция числовой последовательности была правильной рациональной дробью необходимо и достаточно, чтобы члены этой последовательности удовлетворяли линейному рекуррентному соотношению, характеристическое уравнение которого совпадает со знаменателем этой дроби, записанным в обратном порядке.

Пример 3.10. Найдем производящую функцию для чисел Фибоначчи.

Решение. Имеем рекуррентное соотношение: F_n+2 – F _n+1– F_n = 0. Следовательно, f(x) = . A и В легко найти с помощью деления многочленов:

Следовательно, 0 = F₀ = B; 1 = F₁ = A + B, т.е. В = 0; А = 1 или .

Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия

Как и большинство разделов дискретной математики, теория графов возникла при решении различных головоломок. Известна точная дата ее появления – 1736 г. Это год, в котором великий математик Леонард Эйлер опубликовал статью с решением задачи о Кенигсбергских мостах. В 18 в. Кенигсберг был расположен на обоих берегах и двух островах реки Пречель. Острова были связаны между собой и с берегами семью мостами:

Правый берег

Течение реки

М 3

М 2

М 1

М 4

М 7

М 6

М 5

Левый берег

Существовала популярная задача: можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

Размышляя над этой задачей, Эйлер для удобства рассуждений изобразил ее в виде простой геометрической фигуры – из точек, соединенных линиями. Каждый берег и остров он изобразил точками, а мосты – линиями, их соединяющими. Получилась фигура, которая сейчас называется графом:

V1 – прав. берег

V3 –

остров 1

V4 – остров 2

V2 – лев. берег

Задачу о мостах Эйлер сформулировал так: можно ли, начав движение из любой вершины, и двигаясь вдоль линий, пройти по каждой линии точно по одному разу и вернуться в исходную вершину?

В современной постановке задача звучит так: существует ли в данном мультиграфе простой цикл, содержащий все ребра?

В своей работе Эйлер

1) доказал, что эта задача не имеет решения;

2) сформулировал и доказал необходимое и достаточное условие существования в произвольном графе такого (Эйлерова) цикла.

Потом о теории графов забыли, чтобы вспомнить в 19 веке, когда возникли задачи исследования электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Новый всплеск интереса к теории графов приходится на средину 20 века. Выяснилось, что к задачам о графах сводится множество производственных и научных задач – прокладка трасс, проектирование систем управления и интегральных схем, построение логических схем в экономике, химии, биологии. В терминах теории графов формулируются основные алгоритмы, связанные с перебором вариантов. Без преувеличения можно сказать, что теория графов – язык дискретной математики.