Способы задания бинарных отношений

Традиционное задание отношений аналогично тому, как это принято в теории множеств, что не всегда удобно. Поэтому, наряду с таким заданием, применяются другие способы.

1. Матричное задание. Оно используется когда А - конечное

множество А={x_i}. Тогда отношение R можно задавать с помощью матрицы R={x_ij}, элементы которой определяются соотношением:

1, если (x_i,x_j)R

0, если (x_i,x_j)R.

x_ij=

===========

2. Задание с помощью графа.

Для конечного множества А отношение можно задавать с помощью графа Г(R), который является геометрическим образом бинарного отношения. Граф - фигура состоящая из точек (вершин) соединенных линиями (дугами). Вершины графа соответствуют элементам множества А, то есть x_i, а наличие дуги, соединяющей вершины x_i и x_j, означает, что (x_i,x_j)R. Чтобы подчеркнуть упорядоченность пары на дуге ставится стрелка.

Основные свойства графа.

1) Г(R^-1) получается из Г(R) изменением направления стрелок

на противоположные.

2) Граф Г(АА) содержит дуги, соединяющие любую пару (x_i, x_j). Такой граф назывыется полным.

3. Задание верхними и нижними срезами.

Этот способ может быть использован для любых множеств и отношений. Пусть на множестве А задано отношение R. Верхний срез G_R (x) отношения R в точке x А - это множество элементов yА таких, что (y, x)R, т.е.

G_R(x) = { yA | (y, x)R }.

Если рассматривать R как отношение предпочтения, то G_R (x) – это множество элементов, лучших чем х.

Нижний срез H_R(x) отношения R в точке xА - это множество элементов yА, таких, что (x, y)R, т.е.

H_R(x) = { yA | (x, y)R }.

  Свойства нижних и верхних срезов.

Для любого хA и любого отношения R_i AA выполняются соотношения.

1. а) G_RR(x)=G_R(x)G_R(x); б) H_RR(x)=H_R(x)H_R(x)

2. a) G_R(x) = A\G_R(x); б)H_R(x) = A\H_R(x).

3. a) G_R^-1(x) = H_R(x); б) H_R^-1(x) = H_R(x).

4. G_AA(x) = H_AA(x) = A.

Лекция № 6 Свойства бинарных отношений

1) Рефлексивность.

Отношение R называется рефлексивным, если (х, х)R для любого хA.

Примеры рефлексивных отношений: отношения "", "" на множестве R.

2) Антирефлексивность.

Отношение R называется антирефлексивным, если (х, х)R для любого хA.

Примеры антирефлексивных отношений: отношения "<", ">" на множестве R.

Если R - антирефлексивное отношение, то xG_R(x) и хH_R(x)

для любого хA .

3) Симметричность.

Отношение R называется симметричным, если для любых x,yA из того, что (x, y)R следует (y, x)R и обратно.

Примеры симметричных отношений: отношения "=" и "".

Если отношение R симметрично, то для любого хA

а) G_R(x) = H_R(x); б) R = R^-1.

4) Антисимметричность.

Отношение R называется антисимметричным, если для любых x и y из A из одновременного выполнения условий (x, y)R и (y, x)R следует, что x = y.

Пример антисимметричного отношения. Пусть А - множество людей в данной очереди. Отношение R "не стоять за кем-то в очереди" будет антисимметричным.

Пусть х=ВАСЯ, а y=ИВАНОВ. Тот факт, что (x, y)R означает, что "ВАСЯ не стоит в очереди за ИВАНОВЫМ", (y, x)R - "ИВАНОВ не стоит за ВАСЕЙ". Очевидно, что одновременное выполнение обоих включений может быть, только если ВАСЯ и есть ИВАНОВ, т.е. x = y.

Отношение "" также антисимметрично: если xy и yx, то x=y.

5) Асимметричность.

Отношение R асимметрично, если R R^-1= , т.е. пересечение

отношения R с обратным отношением пусто.

Эквивалентное определение асимметричности: из двух отношений (x, y)R и (y, x)R одно не выполняется.

Примеры асимметричных отношений: ">", "<", "быть начальником".

Если R - асимметричное отношение, то из xRy следует yRx.

Для любого отношения R вводятся понятия симметричной части отношения R^s = R R^-1 и асимметричной части отношения R^a = R \ R^s. Если отношение R симметрично, то R= R^s, если отношение R асимметрично, то R= R^a.

Примеры. Если R - "", то R^-1 - "<", R^s - "=", R^a - ">".

6) Транзитивность.

Отношение R транзитивно, если для любыx x, y, zA из того,

что (x, y)R и (y, z)R следует (x, z)R.

Свойства транзитивного отношения:

а) RoRR;

б) для любого хA из yG_R(x) следует, что G_R(y)G_R(x).

Нетранзитивным является отношение "". Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо xy и yz, но x=z, т.е. (x, z)R.

Отношение R₁ называется транзитивным относительно отношения R₂, если:

а) из (x, y) R₁ и (y, x) R₂ следует, что (x, z) R₁;

б) из (x, y) R₂ и (y, x) R₁ следует, что (x, z) R₁.

7) Негатранзитивность.

Отношение R называется негатранзитивным, еслиR транзитивно.

Примеры.

Отношения R₁ - ">" и  R₂ - " " негатранзитивны, так как отно-

шенияR₁ - "",R₂ - "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R₁ одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R₂ , как известно, транзитивным не является.

8) Полнота.

Отношение R полно, если для любых x,yА либо (x, y)R, либо (y, x)R, либо оба отношения выполняются одновременно.

Свойства полных отношений:

а) G_R(x)H_R(x) = А для любого хA;

б) полное отношение рефлексивно.

9) Слабая полнота.

Отношение R называется слабо полным, если для любых хy из А или (x, y)R, или (y, x)R.

Пример слабо полного отношения. Пусть А - множество предприятий, "неблагополучных" в смысле своего бюджета. Отношение R "быть должным" является слабо полным, так как каждое из этих предприятий или кому-либо должно, или ему кто-то должен, но быть должным самому себе нельэя и (x, x)R.

10) Ацикличность.

Бинарное отношение R ациклично, если Rⁿ R^-1=  для любого nN . Иными словами, если из любой конечной цепочки отношений хRу, уRt,..., vRz следует, что zх, то отношение R ациклично.