- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Разбиение и эквивалентность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система ( конечная или бесконечная ) непустых подмножеств А1, А2,..., Аn... множества А называется разбиением, если:
1) объединение множеств Аi образуют все A (т.е. Аi=А);
2) множества Аi попарно не пересекаются (т.е. для любых ij справедливо АiAj = ).
ТЕОРЕМА о разбиении. Отношение IАА, будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда существует разбиение А1, А2,..., Аn,... множества А, что из xIy следует существование такого Аi, что x, yАi.
Другими словами, отношение I является отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда множество А можно разбить на пересекающиеся классы, в каждом из которых все элементы эквивалентны между собой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что I - отношение эквивалентности, т.е. оно является рефлексивным, симметричным, транзитивным. Наша задача - построить такое разбиение, чтобы между элементами каждого класса выполнялось отношение I. Введем для каждого xА множество Вx, состоящее из элементов эквивалентных х, т.е. Вx = {zA | xIz }.
Покажем, что два множества Bx и By либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть zBx By. Это означает, что одновременно zIx и zIy. Тогда, в силу симметричности и транзитивности, получаем xIy. Пусть теперь v - произвольный элемент из Bx, т.е. выполнено отношение vIx. Тогда, вследствие транзитивности отношения I и xIy, получим vIy, т.е. vBy. Точно также можно доказать, что если vBx. Это означает, что всякий элемент v из Bx одновременно принадлежит и By и наоборот. Следовательно, два множества Bx и By, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают между собой.
Наконец, в силу того, что множества Bx построены для всех элементов х из A, и, в силу рефлексивности I, элемент х принадлежит своему множеству Bx, их объединение включает в себя все множество A. Это означает, что система {Bx} образует разбиение A, т.е. в одну сторону теорема доказана.
Докажем обратное. Пусть имеем разбиение множества А на непересекающиеся классы. Определим отношение I следующим образом: элемент x находится с элементом y в отношении I тогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному классу. Тогда это отношение обладает свойством рефлексивности, т.к. сам элемент х принадлежит классу, элементом которого является. Обладает отношение I и свойством симметричности, т.к. если x и y принадлежат какому-то классу, то это же можно сказать и про y и x. Наконец, если имеют место отношения xIy и yIz, то это значит, что x,yB и y,zB, где B - какой-то класс. Это означает, что x, zB, т.е. между x и z установлено отношение I. Следовательно, I обладает транзитивностью. Значит, I - отношение эквивалентности. Теорема доказана и в другую сторону.
Качественный порядок
Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком Pкач. Рассмотрим два примера такого отношения.
1) Пусть х, у - вещественные числа. Введем качественный порядок следующим соотношением: хРкачу <=> x > у +1.
Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Покажем это. Дополнение к введенному отношению определим как хРкач у <=> х у +1.
Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения
(х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z) Ркач.
Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.
Согласно рассмотренному примеру, а также доказанному ранее свойству транзитивности слабого порядка, можно сделать вывод, что асимметричное негатранзитивное отношение Р является транзитивным, но обратное не всегда верно.
2) Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето:
х, уРаr <=> i : хi yi и j : хj > уj.
Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП). Оно означает, что точка x по всем координатам имеет не меньшие значения, чем точка y и хотя бы по одной координате имеется строгое превосходство. В двумерном случае данное отношение можно изобразить графически. Возможны следующие ситуации:
а) x1 < y1 б) x1 > y1 в) x1 < y1
x2 > y2 x2 = y2 x2 < y2
нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,
x лучше y; y лучше x.
Отношение Раr является качественным порядком.
Также как и для Pуп и Pсл, на основе Pкач можно построить
производные от него отношения:
Iкач - отношение качественного безразличия
хIкачу <=> ( xРкач у) и (уРкач х );
Rкач - нестрогий качественный порядок Rкач = Рd кач.
Качественный порядок также называют в литературе частичным порядком. Понятия же нестрого качественного и нестрого частичного порядков различны.
Помимо введенных выше специальных бинарных отношений дадим краткие определения некоторых других, часто встречающихся отношений.
Отношение Rчаст называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле Rчаст = Pкач .
Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок - нестрогим частичным порядком.
В заключение изложения теории специальных бинарных отношений приведем сводную таблицу их свойств. В предлагаемой таблице использованы следующие обозначения:
- данным свойством отношение обладает по определению;
- это свойство вытекает из определения.
|
рефл |
антирефл |
Симм |
асимм |
Антисимм |
транз |
нега-транз |
полн |
ацикл |
Pуп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iуп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rуп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pсл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iсл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rсл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pкач |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Rкач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rчаст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|