1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.

1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.

Предметом прикладных математических исследований являются фрагменты реального мира: явления природы, социально-экономичес­кие системы, производственные процессы, технические конструкции, структуры управления и пр. Математическое моделирование – инс­трумент прикладных математических исследований, инструмент прик­ладной математики.

Прикладное исследование начинается с уяснения возникшей за­дачи. Это уяснение цели исследования является первым этапом разработки модели.

Исследование завершается обеспечением реализации выработан­ных рекомендаций, что также должно быть предусмотрено при разра­ботке модели.

Таким образом, представляется невозможным разделить два по­нятия: прикладное математическое исследование и прикладное математическое моделирование. Поэтому введение в прикладное ма­тематическое моделирование естественно начать с изложения логики и методологии прикладной математики.

1.2. Две стороны математики.

Математика – наука, изучающая схемы моделей безотносительно к их конкретному воплощению и методы (способы) использования моде­лей для решения конкретных задач. Если вначале математика зани­малась простейшими числовыми моделями, то теперь наибольший ин­терес представляют более сложные качественные модели.

У математики есть и другая функция. А именно, язык математики используется в других науках. Об этой функции матема­тики так сказал Галилей:

«Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, кото­рая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу мо­жет лишь тот, кто научился понимать её язык и знаки, которыми она написана. А написана она на языке математики».

В математике различают два направления: теоретическую (чис­тую) и прикладную. Большинство математиков придерживаются поло­жения, что эти два направления являются двумя сторонами одной науки – математики, непрерывно обогащающими друг друга. Для из­вестного американского математика Т.Саати это очевидно, он гово­рит о своей любви к обеим сторонам математики:

к чистой – за ее возвышенный уход от реальности;

к прикладной – за ее страстное стремление к жизни.

Взаимосвязь, единство двух сторон математики, их взаимообогащение особенно отчетливо заметны, если обратиться к истории развития математики. "Подчас очень трудно в конкретных услови­ях установить связь того или иного направления математики с конкретной человеческой практикой. Однако связь легко просматривается сквозь перспективу столетий. И более того, всякий крупный прорыв человеческой мысли в новые области техники и физики, как следствие, всегда стимулировал развитие математики. Возникали но­вые концепции, новая теория. Она начинала жить самостоятельной жизнью, казалось бы оторванной от исходной посылки, а затем возвращала сторицей то, что она использовала для своего разви­тия, то, что послужило исходным пунктом". / / И все же периоди­чески появляются высказывания и даже дискуссии относительно со­держания и взаимоотношений чистой и прикладной сторон математики.

Приведем некоторые "крайние'' позиции.

1. "Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связи с другими сферами деятельнос­ти". (Л.Морден)

2. "Под словом математика … подразумевается чистая мате­матика. Кроме нее существует прикладная … Задачей статьи является проведение четкой и недвусмысленной ли­нии раздела, даже не линии, а заградительной полосы между этими двумя совершенно разными областями нау­ки". (А.Китайгородский)

3. "Математика едина. Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математики являются частями единого неразрывного целого, называемого мате­матикой, что эти части невозможно четко отделить одну от другой". (Л.Кудрявцев)

4. "Чисто логические концепции должны составлять, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь матема­тики, ее продуктивность относится преимущественно к приложениям. Изгнать приложения из математики это то же самое, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов". (Ф.Клейн)

При дальнейшем изложении будем придерживаться положения, что чистая (теоретическая) и прикладная математика не что иное, как две стороны одной науки – математики. Использование терминов "чис­тая", "прикладная" математика оказывается удобным, вследствие естественного разделения направлений деятельности математиков, что, соответственно, приводит к необходимости дифференциации подготовки математиков. В большинстве случаев вместо термина "прикладная математика" ближе к существу было бы "прикладные ма­тематические исследования".

Чистая и прикладная математика, будучи двумя частями единой науки, различаются направленностью, целями исследования, именно тем, что позволяет одной уходить от реальности и требует от дру­гой разбираться в сущности этой реальности. Поэтому, несмотря на единство основных положений, а также на тесную взаимосвязь двух сторон математики, существуют значительные особенности в логике и методологии каждой из этих сторон.

Эти особенности рассмотрены далее. Здесь только подчеркнем следующее положение.

В прикладных исследованиях одинаково вредны как стремление к безупречной строгости доказательства, так и увлечение эмпиризмом. Требования математиков-теоретиков обеспечить безусловную стро­гость в приложениях сродни претензии на изоморфное отображение действительности, на абсолютную истину. Жесткость теоретических конструкций может быть в определенных случаях весьма полезна и в приложениях, однако при исследовании объектов реального мира бо­лее предпочтительны гибкие подходы прикладной математики.

В тоже время, прикладные исследования без должного ознаком­ления с уже имеющимися теоретическими результатами и обобщениями приводят к бесполезной трате средств, а нежелание или неумение осмыслить, обобщить результаты эксперимента может привести к по­тере информации, к содержательно бедным, а, порой, и неверным выводам.

За последнее время получены новые результаты в теоретической математике, в частности активно развивается теоретико-множест­венное направление, создаются новые разделы математики. Од­нако, пожалуй, наибольшие успехи получены в прикладных исследова­ниях.