- •Н.Д. Дроздов, т.Г. Сорокина введение в прикладное математическое моделирование
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.
- •1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.
- •1.2. Две стороны математики.
- •1.3. Что должен знать и уметь прикладной математик.
- •1.4. О синтезирующей роли математики
- •2. Методология прикладных исследований
- •2.1. Принцип системности.
- •2.2. Система. Основные определения.
- •2.3. Системный подход-основа методологии системного анализа.
- •2.4. Основные закономерности организации материального мира
- •2.5. Основные методологические принципы организации прикладных исследований.
- •2.5.1. Необходимость участия математика на всех этапах решения прикладной задачи.
- •2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.
- •2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.
- •2.5.5. Необходимость учета при принятии решения многовариантности возможных результатов.
- •2.5.6. Трансформация математики при освоении новых областей знаний.
- •2.5.7. Необходимость учёта "нематематических" условий и ограничений.
- •3.Математическме методы
- •3.1 Общие положения
- •3.2. Особенности применения математических методов.
- •3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
- •3.2.2. Проблема бесконечности
- •3.2.3. Прикладная математика и число
- •3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
- •3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
- •3.2.6. О понятии функции
- •3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
- •3.2.8. О математической строгости
- •3.3. Типовые, рациональные рассуждения
- •3.4. Направления дальнейшего развития математических методов, связанные с развитием прикладных исследований .
- •4. Моделирование. Основые понятия
- •4.1. Определение понятия "модель".
- •4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.
- •4.3. Классификация моделей.
- •4.4 Общие требования к моделям.
- •4.5. Структура моделей.
- •5. Этапы моделирования.
- •5.1.Блок-схема этапов моделирования.
- •5.2. Значение и содержание этапа “постановка задачи”.
- •5.3. Формализация задачи.
- •5.4. Некоторые проблемы, возникающие при формализации задачи.
- •5.4.1. Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.
- •5.4.2. Линейность и нелинейность.
- •5.4.3. Дискретность и непрерывность.
- •5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
- •5.5 Планирование эксперимента.
- •5.6. Проверка модели.
- •5.7. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
- •6. Особенность исследования социальных и экономических процессов. Экономико-математическое моделирование.
- •7.Моделирование в ”иccледовании операций”.
- •8. Субьективные проблемы исследований.
- •Литература
- •Дроздов Николай Дмитриевич, Сорокина Тамара Георгиевна Введение в прикладное математическое моделирование
3.2.8. О математической строгости
Абсолютной строгости в математике не существует и, видимо, не может существовать. Строгость того или иного рассуждения есть средство избежать ошибочных выводов.
Понятие строгости в чистой математике непрерывно уточняется. В настоящее время различные уровни строгости имеют место в математической логике, в основной части чистой математике и в прикладной математике.
В прикладной математике уровни строгости должны выбираться адекватно решаемой задаче. Легко убедиться, что в различных приложениях эти уровни различны, достаточно сравнить модели в различных областях физики и техники и в экономике. Проблема строгости в прикладных исследованиях связана с проблемой равнопрочности при моделировании.
3.3. Типовые, рациональные рассуждения
В предыдущем разделе отмечено, что одной из особенностей прикладной математики является широкое использование рациональных рассуждений, т.е. является типичной ситуация, когда, используя только точные методы, не удается получить решение задачи.
Перечислим основные виды рациональных рассуждений .
а) Применение формулировок, включающих не точно определенные понятия.
б) Применение понятий вне рамок их первоначального определения. Например, интеграл, обоснованный для непрерывных функций, применяется и для разрывных функций.
в) Применение утверждений, справедливых в практических случаях, но допускающих построение искусственных противоречащих примеров.
Многие дедуктивные теоремы и рассуждения значительно проигрывают из-за того, что они ориентированы на справедливость во всех случаях, в том числе самых неблагоприятных. Это приводит к нежелательному смещению акцентов - патологические случаи приобретают большее значение, чем основные. Однако, как сказал Эйнштейн: " Господь бог изощрен, но не злонамерен." Природа, в отличие от людей, не строит противоречащие примеры с единственной целью - опровергнуть рациональное рассуждение.
г) Доводы, основанные на аналогии или эксперименте. Разумная аналогия служит в прикладных исследованиях доказательством. Результаты эксперимента часто служат подтверждением рабочих гипотез. Многие коэффициенты в теоретических зависимостях получаются из эксперимента.
д) Нелокальное применение результатов локального исследования. Например, некоторый процесс, включающий параметр d>0, сходится при малых значениях d. Но в случае, если значение d не мало, о сходимости судят по первым шагам.
е) Доказательства, основанные на рассмотрении частных случаев. Индукция. Применение индукции в прикладной математике обусловлено сложностью или недоступностью дедуктивных доказательств.
ж) Использование результатов приближенного решения при отсутствии строгого доказательства точности решения. Заключение о правильности решения опирается на его совпадение с ожидаемым результатом или на контрольные вычисления для частных случаев.
з) Применение численных методов, сходимость которых не доказана.
и) Изучение и решение задачи, когда соответствующие теоремы о разрешимости ( о существовании и единственности решения ) не доказаны.