- •Н.Д. Дроздов, т.Г. Сорокина введение в прикладное математическое моделирование
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.
- •1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.
- •1.2. Две стороны математики.
- •1.3. Что должен знать и уметь прикладной математик.
- •1.4. О синтезирующей роли математики
- •2. Методология прикладных исследований
- •2.1. Принцип системности.
- •2.2. Система. Основные определения.
- •2.3. Системный подход-основа методологии системного анализа.
- •2.4. Основные закономерности организации материального мира
- •2.5. Основные методологические принципы организации прикладных исследований.
- •2.5.1. Необходимость участия математика на всех этапах решения прикладной задачи.
- •2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.
- •2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.
- •2.5.5. Необходимость учета при принятии решения многовариантности возможных результатов.
- •2.5.6. Трансформация математики при освоении новых областей знаний.
- •2.5.7. Необходимость учёта "нематематических" условий и ограничений.
- •3.Математическме методы
- •3.1 Общие положения
- •3.2. Особенности применения математических методов.
- •3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
- •3.2.2. Проблема бесконечности
- •3.2.3. Прикладная математика и число
- •3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
- •3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
- •3.2.6. О понятии функции
- •3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
- •3.2.8. О математической строгости
- •3.3. Типовые, рациональные рассуждения
- •3.4. Направления дальнейшего развития математических методов, связанные с развитием прикладных исследований .
- •4. Моделирование. Основые понятия
- •4.1. Определение понятия "модель".
- •4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.
- •4.3. Классификация моделей.
- •4.4 Общие требования к моделям.
- •4.5. Структура моделей.
- •5. Этапы моделирования.
- •5.1.Блок-схема этапов моделирования.
- •5.2. Значение и содержание этапа “постановка задачи”.
- •5.3. Формализация задачи.
- •5.4. Некоторые проблемы, возникающие при формализации задачи.
- •5.4.1. Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.
- •5.4.2. Линейность и нелинейность.
- •5.4.3. Дискретность и непрерывность.
- •5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
- •5.5 Планирование эксперимента.
- •5.6. Проверка модели.
- •5.7. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
- •6. Особенность исследования социальных и экономических процессов. Экономико-математическое моделирование.
- •7.Моделирование в ”иccледовании операций”.
- •8. Субьективные проблемы исследований.
- •Литература
- •Дроздов Николай Дмитриевич, Сорокина Тамара Георгиевна Введение в прикладное математическое моделирование
5.3. Формализация задачи.
Математическая постановка (формализация) задачи – создание математической модели завершает этап постановки задачи
Математическая модель начинается с момента, когда формулируется система аксиом, описывающая не только сам объект, но некоторую алгебру, т.е. совокупность правил, определяющих допустимые операции над объектом. При формализации задачи должны быть определены функциональные зависимости, связывающие переменные и параметры модели. Формализация задачи существенно зависит от знания исследуемого объекта, задачи исследования, вида создаваемой модели.
Общего метода подбора зависимостей (отношений, функций) не существует. Чем больше функциональных зависимостей известно исследователю, чем больше он может привлечь и критически осмыслить аналогий, тем успешнее будет его деятельность по разработке модели. Полезным может также оказаться, благодаря наглядности, графическое представление.
Относительно просто устанавливается структура асимптотических моделей. Задача сводится к уточнению структуры модели, определению значения ее параметров и входных переменных.
В моделях ансамблей обязательной и сложной задачей является выявление изменений в свойствах подсистем при объединении их в систему.
Наибольшие трудности возникают при разработке феноменологических моделей.
Предлагаются следующие основные варианты (принципы) подхода к разработке моделей при различной сложности системы, доступности к информации относительно структуры системы и протекающих в ней процессов.
Принцип 1. Система достаточно проста и прозрачна, так что ее можно обследовать и понять, например, путем наблюдения или расспросов людей, работающих с системой. Непосредственно по результатам изучения системы можно сконструировать ее модель.
Принцип 2. Если структура системы очевидна, но методы описания не ясны, можно воспользоваться сходством исследуемой системы с другой, в том числе, возможно, более простой, описание которой известно.
Принцип 3. Структура системы неизвестна, но ее можно определить путем анализа данных о функционировании системы. Фактически будет получена гипотеза о структуре, которую затем необходимо проверить экспериментально.
Принцип 4. Анализ данных о работе системы не позволяет определить влияние отдельных переменных на показатели работы системы, возникает необходимость в проведении эксперимента с целью выявления релевантных факторов и их влияния на работу системы. При этом предполагается возможность проведения соответствующего эксперимента на системе.
Принцип 5. Достаточные описательные данные о системе отсутствуют, проведение эксперимента на системе не допустимо. В этом случае может быть построена достаточно подробная модель искусственной действительности, используемая для накопления статистики о возможном функционировании системы путем статистических испытаний гипотез о реальном мире.
Рекомендуется при создании математической модели действовать в следующем порядке:
- подыскать аналогии;
- подобрать и рассмотреть специальные примеры, характерные для решаемой задачи;
- принять решение о выборе класса (типа) модели, в том числе решить- будет ли модель аналитической, имитационной или комбинированной;
-записать соображения, характеризующие закономерности, имеющие место в системе, при необходимости провести дополнительные исследования;
-если модель не поддается описанию, найти способы упрощения проблемы.
При определении отношений между элементами системы, а так же между системой и окружающей средой необходимо точно установить причинно-следственные связи.
Различают связи:
реактивные: система (элементы системы) реагирует на событие (при повороте выключателя - зажглась лампа);
ответные: одно событие влечет за собой другое (стемнело - включаем освещение);
автономные: появление события, ничем непосредственно не обусловлено (зачастую это поведение человека).
Причинно-следственные связи могут быть детерминированными и вероятностными. При выявлении этих связей иногда возникают грубые (иногда преднамеренные) ошибки.
В общем случае некоторые модельные соотношения выводятся непосредственно при анализе системы, но часть соотношений принимаются без вывода и являются постулатами модели, от их качества в значительной мере зависит адекватность модели.
Постулаты имеют различное происхождение.
(1) Некоторые постулаты вытекают из универсальных физических законов, в том числе законов с ограниченной областью действия.
(2)Феноменологические законы - хорошо эмпирически обоснованные, но имеющие ограниченную область действия. Применение такого закона должно быть обусловлено попаданием исследуемого явления в зону действия закона.
(3) Полуэмпирические законы, действенность которых зависит от условий применения. Чаще всего эти законы базируются на "слепой" обработке экспериментальных данных. Применение подобных законов следует контролировать рациональными рассуждениями.
На этапе формализации важно правильно ограничить число степеней свободы, не "заложить" вычислительную неразрешимость задачи. Проблема размерности существенно ограничивает возможности эффективного применения многих математических методов.
При разработке модели сложной системы очень часто полезно начать с создания "грубой" модели, в которой учитывается по возможности наименьшее число "основных" переменных и параметров. Переменные и параметры можно выстроить в некоторую иерархическую последовательность по мере уточнения подробностей относительно функционирования системы.
Классический пример подобной иерархии - небесная механика.
1-ая, грубая модель - планеты - материальные точки, подчиняющиеся законам Ньютона. Определены законы Кеплера.
2-ой шаг - учитывается размер планет и движение солнца. Уточняются траектории движения всех тел.
3-ий шаг - учет релятивистских эффектов.
Иногда удобно иерархию переменных связывать с масштабами переменных, например, различать переменные быстро, нормально и медленно меняющиеся. Последние на некотором временном интервале при моделировании можно "заморозить".
После получения первого варианта формализации необходимо проанализировать все допущения и уточнить математическую постановку.