2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.

В чистой математике свойство любого изучаемого понятия должно строго логически вытекать из его формального определения. То есть свойства задачи полностью определяются её математической формулировкой.

В прикладных исследованиях, если даже используется математическое понятие, то за ним всегда стоит реальный объект и поэтому любое понятие всегда включает в себя больше, чем формальное определение.

В процессе исследования, по мере необходимости, привлекаются дополнительные сведения о рассматриваемых понятиях, проводятся уточняющие рассуждения о свойствах изучаемых объектов. И.Грекова пишет "Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступить в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело чести математика не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их. Однако, для этого нужна специальная тренировка, умение разобраться в неформально поставленной задаче, иногда отказаться от полной математической строгости, применить не до конца обоснованные, но оправдавшие себя на практике приемы.

В прикладных исследованиях сложных систем всегда небходимо следовать принципу неопределенности. Понятия, не всегда строгие, категории не чисто качественного, но и не чисто количественного характера, проверка теории с помощью численного расчета - так называемого "машинного эксперимента" характерны для прикладных исследований Приемы, которыми пользуется современная математика - всякого рода "экспертные оценки", "эвристические методы" и т.п., настолько резко расходятся с привычными, классическими приемами, что у профессионального математика "строгой" школы могут вызвать нечто вроде душевной травмы. Конечно легко считать, что вся эта "ересь" находится за пределами математики (что нередко и делается), но объявить приемы недопустимыми и не предложить ничего взамен - не лучший выход из положения. Многие задачи просто "не решаются" на уровне должной строгости, а решать их нужно - жизнь не ждет. Волей - неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день средствами... " / /

Здесь уместно привести фразу из научного фольклора: "Чистая математика делает то, что может, так, как нужно, прикладная - то, что нужно и как можно".

Из принципа неопределенности следует закономерность широкого применения в прикладной математике так называемых рациональных рассуждений. Рассуждения, не строгие и не приемлемые с точки зрения чистой математики, но обеспечивающие при разумном их применении правильные результаты, называются рациональными. Типичный пример рационального рассуждения: «Сегодня погода хорошая», «Автомобиль едет с большой скоростью». Используются и другие термины, близкие по смыслу к термину "рациональные": правдоподобные, эвристические, дискурсивные. Понятие "дискурсивные" относится к любому типу умозаключений: рассудочных, понятийных, в частности и таких, когда в цепи заключений имеются внелогические утверждения. Такое понимание дискурсивности близко к принятому понятию рациональность. Применение рациональных понятий, непосредственно связано с интуицией, здравым смыслом. Качество интуиции зависит от степени изучения данной области знания и личных качеств исследователя.

Для оценки рационального рассуждения вводится понятие степени достоверности рассуждения, которое может меняться от 0 до 1. Это некоторая субъективная, размытая в своей основе аналогия вероятностной оценке. Трудности в определении численных значений степени достоверности приводят к необходимости прибегать к словам, например, к таким: "довольно правдоподобно" ( р = 0.9). Событие считается практически правдоподобным при р = 10^-12 Оценки могут также отличаться "степенью обоснованности "- некоторым аналогам дисперсии.

Сложное рациональное рассуждение обычно включает физические соображения, ссылки на опыт, интуицию, целесообразность упрощения, а также дедуктивные рассуждения. Важной особенностью рациональных рассуждений является возможность включения в них "размытых понятий". Например, Р.Хэмминг указал несколько неопределённый общий принцип: "чем тоньше метод и чем лучше он кажется, тем хуже он может повести себя в случае осложнения с функцией". Дедуктивная формулировка этого принципа может только сузить область его применения.

Различные рассуждения совершенно не равноценны, как по трудности их проведения, так и по вкладу в успех решения задачи. По аналогии с теорией вероятностей можно положить, что если сложное рассуждение "А" является коньюнкцией простых a_i, то общая достоверность Р=ПP(a_i). Наличие среди a_i достоверного рассуждения не повысит при этом общую степень достоверности. Д.Пойа привёл ряд способов повышения правдоподобности рассуждений, некоторые из них: повторный независимый вывод, использования различных моделей, независимое вычисление, сравнение результатов с физическим экспериментом. Достоверность рационального рассуждения может быть также повышена, если прибегнуть к коллективному мнению.

Можно привести сколь угодно случаев, когда только при применении здравого смысла и интуиции, т.е. рациональных рассуждений, удаётся получить искомый результат. В прикладных исследованиях следует стремиться к таким сочетаниям различных рассуждений, которые с необходимой точностью при минимуме затрат приведут к цели исследования. Необходимо также отличать рациональные рассуждения, имеющие научный характер, от "наукообразных упражнений".