4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.

Определение модели в логико-алгебраических терминах связано с формально-логическим исследованием закономерностей, проявляющихся при моделировании. Исходные положения здесь заключаются в том, что любой обозреваемый фрагмент Мира может быть представлен в качестве частичной алгебраической системы, т.е. множества объектов на подмножестве которых определены некоторые операции и отношения.

Алгебраической системой будем называть тройку

U = <A, W_f, W_p>,

где A - произвольное множество;

W_f, W_p - наборы, определенных на А операций и предикатов, соответственно.

Сигнатура алгебраической системы - это множество операций и предикатов, определенных на А. Поскольку каждую n-арную операцию, определенную на А, можно заменить n+1-арным предикатом, то дальше будем рассматривать алгебраическую систему в виде:

U = <A, W_p>.

Пусть А и В - два произвольных равномощных множества и W_p, R_q - семейства предикатов, определенные, соответственно, на A и B. Пусть каждому a из A соответствует только одно b из B и наоборот: f(a) = b, t(b) = a. Предположим также наличие однозначного соответствия между семействами предикатов, т.е. для любого набора p, q, k, l и любого набора индексов (i₁, i₂, ..., i_p), (j₁, j₂, ..., j_q)

из W_p/k(a_i1, a_i2, ..., a_ip) следует

R_q/l(b_j1, b_j2, ..., b_jq) = (f(W_p/k)) = (f(a_i1), f(a_i2), ..., f(a_ip))

и наоборот. (Здесь l и k - арность предикатов).

При таком взаимно однозначном соответствии каждое из множеств A и B является изоморфным отображением другого. Изоморфизмом является и каждая из функций f и t. f : A  B, t :B  A.

Если, не меняя остальных предположений, требование взаимной однозначности заменить требованием однозначности только в одну сторону от A к B, то В будет гомоморфным образом А относительно заданного семейства предикатов.

Если для изоморфизма характерно отношение эквивалентности, т.е. рефлективность, симметричность, транзитивность, то в случае гомоморфизма остается рефлективность и транзитивность, что и характерно для моделирования, поскольку при отображении реальности естественно отказаться от симметричности. То есть модель является гомоморфным отображением объекта, при котором определенные второстепенные детали опущены. Подход к процессу моделирования как к выделению существенных деталей и исключению несущественных в процессе гомоморфного преобразования исходного фрагмента Мира связан с алгебраической идеей факторизации исходного множества.

Фактор - множеством исходного множества по данному отношению эквивалентности называется множество различных типов (классов) эквивалентности. Каждый класс эквивалентности может быть представлен (порожден) любым своим членом.

Отношением конгруэнтности называется отношение эквивалентности, подстановочное для любой определенной на данном множестве операции, т.е. такое отношение Z, что для любой, определенной на множестве n-местной операции w и для любых двух наборов из n элементов a = (a₁, a₂, …, a_n) и b = (b₁, b₂, ..., b_n) из того, что a_i Z b_i, для всех i от 1 до n следует

w(a₁, a₂, ..., a_n) Z w(b₁, b₂, ..., b_n).

При отношении конгруэнтности на фактор - множестве определены те же операции, что и на исходном множестве и между элементами фактор -множества (элементами классов эквивалентности) сохраняются те же самые отношения и свойства. Таким образом оказываются определенными фактор-множество и его фактор - алгебра.

Фактор - множество по данной конгруэнтности Z можно представить как [A] = A/Z, оставив для фактор - множества все операции, определенные на исходном множестве, т.е. для каждой n-местной операции w из A на фактор - множестве [A] можно определить n-местную операцию

w([a₁], [a₂], ..., [a_n]) = w(a₁, a₂, ..., a_n),

где в качестве a_i, i=1, 2, ..., n может быть взят любой представитель a_i из [a_i ].

Такая факторизация является гомоморфизмом.

Приведем также понятие метаморфизма, как обобщения гомоморфизма. Пусть U = <A, W_a> и V = <B, W_b> - алгебраические системы, где А и B - произвольные множества, W_a, W_b - сигнатуры.

Однозначное, не обязательно взаимно, отображение

f : U  V = (A  B, W_a  W_b)

такое, что для любого предиката P_a/n из W_a его образ

f ( P_a/n ) = P_b/n

имеет тот же ранг,а для произвольных (a₁, a₂, ..., a_n) из A и P_a/n из W_a имеет место

P_a/n (a₁, a₂, ..., a_n) = P_b/n ( f(a₁), f(a₂), ..., f(a_n) ),

называется метаморфозным отображением относительно сигнатур W_a и W_b или просто метаморфизмом, а V - метаморфозным образом U.

Каждый гомоморфизм является метаморфизмом, но не наоборот. Отказ от взаимной однозначности отображения приводит к гомоморфизму, а отказ от взаимно однозначного соответствия между сигнатурами, при условии соблюдения рангов предикатов образа и прообраза, приводит к метаморфизму. Произвольный метаморфизм системы U на систему V индуцирует на V некоторое отношение между предикатами. Это отношение называется ядерной эквивалентностью или ядерной конгруэнтностью предикатов из U, имеющих общий образ в V. Дальнейшим расширением понятий морфизма является параморфизм. Определение параморфизма может быть получено при замене требования равенства рангов предикатов требованием невозрастания рангов при отображении и условием "согласованности" отдельных частей определения, т.е. их совместной корректности.

Изложенные выше формально-структурные закономерности моделирования в чисто алгебраических требованиях можно обобщить следующим образом.

1.Абсолютно изоморфная модель действительности есть только идеализация. Создание модели, изоморфной моделируемой системе не возможно, так как реальный мир, реальная действительность имеет бесконечную размерность

2.В моделях достаточно потребовать не эквивалентности их оригиналам, т.е. изоморфизма, а лишь гомоморфизма модели оригиналу. К тому же сам по себе акт выделения интересующей нас подсигнатуры из полного набора атрибутов является гомоморфным преобразованием.

Под фактор-системой (фактор-действительностью фактор-множеством) будем понимать результат отождествления элементов системы друг с другом, т.е. объединения элементов системы в классы эквивалентности, причем каждый класс эквивалентности может быть представлен любым своим членом. Отождествление проводится таким образом, что несущественные для решаемой задачи второстепенные детали опускаются, но на фактор-системе сохраняются отношения между элементами системы, а так же между системой и окружающей средой, влияющие на результаты исследования, для которых создается модель.

Между элементами реальной системы и фактор-системы существует неоднозначное соответствие. Фактор-система является гомоморфным отображением системы, соответственно множеству элементов системы, отнесенному к одному классу соответствует в фактор-системе один элемент- представитель этого класса. Модель, в свою очередь, является изоморфным отображением фактор-сиситемы и гомоморфным отображением реальной системы. Поскольку модель ориентирована на решение конкретной задачи, в ней должны быть учтены все те свойства, которые, безусловно, влияют на результаты решения этой задачи. Излишние подробности, не влияющие или слабо влияющие на результаты, должны быть исключены. Подобные подробности могут заметно усложнить эксперимент и ухудшить точность решения.

.

3.Справедлива следующая теорема о гомоморфизмах.

Для любого гомоморфизма универсальной алгебраической системы U в алгебраическую систему V можно указать такое отношение конгруэнтности Z на U, что V изоморфна фактор-алгебре U/Z.

Фундаментальная методологическая функция теоремы о гомоморфизмах заключается в следующем.

Если считать, что каждая научная теория представляет собой гомоморфный образ описываемого ею фрагмента действительности, то получается, что такая теория есть изоморфный образ некоторой "фактор - действительности", т.е. совокупности классов, отождествляемых в результате некоторой абстракции объектов, иначе говоря, совокупности абстрактных понятий, между которыми вводятся соотношения, индуцируемые отношениями, имеющими место между исходными объектами.

Другими словами,

сколь бы разнообразны ни были гомоморфные модели Мира, или, точнее фрагментов Мира, все они, так или иначе, в некотором смысле, не только предопределяемы объективными атрибутами этого Мира, но содержаться во множестве его подмножеств.

Теорему о гомоморфизмах можно выразить и следующим образом.

Точность любого описания - это точность соглашения о неразличимости отождествляемого.

В теореме о гомоморфизмах содержится принцип адекватности модели объекту.

При использовании теорем о гомоморфизмах для оценки адекватности объекта разрабатываемой модели трудности заключаются в практическом использовании понятий "ядро гомоморфизма", "конгруэнция". Целесообразно также ввести критерий достаточной факторизации, т.е. такой факторизации, когда выделяется "достаточная" подсигнатура, относительно которой производится гомоморфное преобразование и сохраняется только та информация об объекте, которая необходима для достижения цели, поставленной при исследовании. Значение такого подхода к отбору существенной информацией при создании моделей отмечается в большинстве работ по методологии моделирования. Такой подход фактически положен в основу определения модели: "формальное описание таких особенностей системы, которые существенны для целей исследования ... принято называть моделью". Бесплодность многих моделей является следствием использования при отождествлении не конгруэнции, а произвольных отношений эквивалентности. Не в меньшей мере бесплодность моделей связано с невыполнением критерия достаточности, причём к неуспеху приведёт как потеря необходимой информации, так и переполнение модели несущественными деталями. Зачастую критерий достаточности и конгруэнтность сознательно игнорируются, чтобы получить при моделировании желаемый результат, требуемую рекомендацию.

Теоремы о гомоморфизмах справедливы и при синтезе новых систем, например, "методом проб и ошибок". При синтезе систем методом проб и ошибок могут появляться элементы моделей, которые не войдут в гомоморфный образ синтезируемой системы. В итоге после синтеза в модели может быть выделено "собственное ядро модели", определённое в / / для другой ситуации. Это "собственное ядро модели" будет изоморфным образом некоторой фактор - системы, которая, в свою очередь, будет гомоморфным образом систем (теорий), существование которых не противоречит законом реального Мира. То есть, здесь имеет место доказательство существования системы, называемое конструктивным. Подобных систем может оказаться и несколько. Если ни одной такой системы не существует, т.е. не существует (не может быть создана) система, фактор - множество которой было бы изоморфно полученной при синтезе модели, то моделирование на данном этапе не привело к желаемому результату.

Изучение только гомоморфного образа объекта происходит и тогда, когда в состав модели включена изучаемая система или её часть. В этом случае всё равно имеет место фактор существенной и несущественной информации.

Известно, что в процессе самопознания приходится иметь дело также со своим гомоморфным образом.

Таким образом, несмотря на то, что при логико-алгебраическом подходе к процессу моделирования изучаются только элементарные акты познания, применение полученных выводов, в частности, обобщённых теорем о гомоморфизмах, приводит, в большинстве случаев, к обоснованному заключению об адекватности модели изучаемому прообразу и может служить достаточно эффективным ограждением от многочисленных спекуляций, выдаваемых за модели. Важность этого в прикладных исследованиях очевидна.