- •Н.Д. Дроздов, т.Г. Сорокина введение в прикладное математическое моделирование
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.
- •1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.
- •1.2. Две стороны математики.
- •1.3. Что должен знать и уметь прикладной математик.
- •1.4. О синтезирующей роли математики
- •2. Методология прикладных исследований
- •2.1. Принцип системности.
- •2.2. Система. Основные определения.
- •2.3. Системный подход-основа методологии системного анализа.
- •2.4. Основные закономерности организации материального мира
- •2.5. Основные методологические принципы организации прикладных исследований.
- •2.5.1. Необходимость участия математика на всех этапах решения прикладной задачи.
- •2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.
- •2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.
- •2.5.5. Необходимость учета при принятии решения многовариантности возможных результатов.
- •2.5.6. Трансформация математики при освоении новых областей знаний.
- •2.5.7. Необходимость учёта "нематематических" условий и ограничений.
- •3.Математическме методы
- •3.1 Общие положения
- •3.2. Особенности применения математических методов.
- •3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
- •3.2.2. Проблема бесконечности
- •3.2.3. Прикладная математика и число
- •3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
- •3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
- •3.2.6. О понятии функции
- •3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
- •3.2.8. О математической строгости
- •3.3. Типовые, рациональные рассуждения
- •3.4. Направления дальнейшего развития математических методов, связанные с развитием прикладных исследований .
- •4. Моделирование. Основые понятия
- •4.1. Определение понятия "модель".
- •4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.
- •4.3. Классификация моделей.
- •4.4 Общие требования к моделям.
- •4.5. Структура моделей.
- •5. Этапы моделирования.
- •5.1.Блок-схема этапов моделирования.
- •5.2. Значение и содержание этапа “постановка задачи”.
- •5.3. Формализация задачи.
- •5.4. Некоторые проблемы, возникающие при формализации задачи.
- •5.4.1. Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.
- •5.4.2. Линейность и нелинейность.
- •5.4.3. Дискретность и непрерывность.
- •5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
- •5.5 Планирование эксперимента.
- •5.6. Проверка модели.
- •5.7. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
- •6. Особенность исследования социальных и экономических процессов. Экономико-математическое моделирование.
- •7.Моделирование в ”иccледовании операций”.
- •8. Субьективные проблемы исследований.
- •Литература
- •Дроздов Николай Дмитриевич, Сорокина Тамара Георгиевна Введение в прикладное математическое моделирование
5.6. Проверка модели.
Модель необходимо проверять (испытывать) постоянно с момента ее создания до получения требуемого результата. До начала эксперимента модель необходимо испытать в целом, что является последним этапом разработки модели.
Испытание проводится с целью:
1) Выявления правдоподобия модели в 1-ом приближении, "качественно", чтобы убедиться, что модель ведет себя, как и предполагалось, т.е. существует качественное соответствие между поведением моделируемой системы и модели, в том числе совпадают порядок их исходов, а так же поведение и результаты в "крайних" ситуациях.
2) Проверки количественной адекватности - точности преобразования информации, что достигается калибровкой модели.
Калибровкой модели называется определение (уточнение) коэффициентов модели - коэффициентов отношений, связывающих экзогенные и эндогенные переменные модели. Калибровка осуществляется путем сравнения результатов, полученных на моделях с результатами, получаемыми при испытаниях реальной системы или с результатами аналитических расчетов, для чего используются эталонные примеры и задачи. Модель системы в целом проверяется так называемыми эталонными задачами, охватывающими все свойства модели. В общем случае, если неизвестно "n" коэффициентов, необходимо сконструировать и решить задачу с "n" независимыми уравнениями. Однако целесообразно структурировать задачу - построить такую совокупность примеров, чтобы с помощью одного примера охватить определенную часть модельных зависимостей и определить часть коэффициентов.
Одной из задач испытания является проверка модели на чувствительность, т.е. нисколько исходы модели чувствительны к изменению входных переменных.
В общем случае испытание и калибровка модели - задача статистическая, т.е. задача проблемного анализа - формирования статистически значимых выводов на основе данных, полученных на модели. При испытаниях широко применяются такие статистические методы, как регрессионный, корреляционный и дисперсионный анализы. Важно помнить, что статистические методы могут привести к неверным результатам, если исследователь не имеет ясного представления о моделируемой системе.
Для обеспечения адекватности модели предусматриваются при ее разработке и эксплуатации следующие виды контроля.
1)Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
2) Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых.
3) Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе.
4) Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы в аналогичных ситуациях (поведение системы в экстремальных ситуациях часто легко оценивается).
5) Контроль граничных условий: на границе функции должны принимать определенные значения.
6) Контроль математической замкнутости: выяснение имеет ли решение задача, в том виде, как она записана в модели.
7) Контроль устойчивости модели.
8) Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.
Поскольку испытания моделей связаны с существенными затратами, необходимо к планированию испытаний относиться столь же строго как и к планированию вычислительных экспериментов.
Результаты испытаний в конечном счете должны обеспечить необходимый уровень адекватности модели на всех этапах ее использования. При обоснованном выборе тестовых примеров и эталонных задач эта задача решается при минимальных затратах средств и ресурсов.