- •Н.Д. Дроздов, т.Г. Сорокина введение в прикладное математическое моделирование
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.
- •1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.
- •1.2. Две стороны математики.
- •1.3. Что должен знать и уметь прикладной математик.
- •1.4. О синтезирующей роли математики
- •2. Методология прикладных исследований
- •2.1. Принцип системности.
- •2.2. Система. Основные определения.
- •2.3. Системный подход-основа методологии системного анализа.
- •2.4. Основные закономерности организации материального мира
- •2.5. Основные методологические принципы организации прикладных исследований.
- •2.5.1. Необходимость участия математика на всех этапах решения прикладной задачи.
- •2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.
- •2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.
- •2.5.5. Необходимость учета при принятии решения многовариантности возможных результатов.
- •2.5.6. Трансформация математики при освоении новых областей знаний.
- •2.5.7. Необходимость учёта "нематематических" условий и ограничений.
- •3.Математическме методы
- •3.1 Общие положения
- •3.2. Особенности применения математических методов.
- •3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
- •3.2.2. Проблема бесконечности
- •3.2.3. Прикладная математика и число
- •3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
- •3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
- •3.2.6. О понятии функции
- •3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
- •3.2.8. О математической строгости
- •3.3. Типовые, рациональные рассуждения
- •3.4. Направления дальнейшего развития математических методов, связанные с развитием прикладных исследований .
- •4. Моделирование. Основые понятия
- •4.1. Определение понятия "модель".
- •4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.
- •4.3. Классификация моделей.
- •4.4 Общие требования к моделям.
- •4.5. Структура моделей.
- •5. Этапы моделирования.
- •5.1.Блок-схема этапов моделирования.
- •5.2. Значение и содержание этапа “постановка задачи”.
- •5.3. Формализация задачи.
- •5.4. Некоторые проблемы, возникающие при формализации задачи.
- •5.4.1. Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.
- •5.4.2. Линейность и нелинейность.
- •5.4.3. Дискретность и непрерывность.
- •5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
- •5.5 Планирование эксперимента.
- •5.6. Проверка модели.
- •5.7. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
- •6. Особенность исследования социальных и экономических процессов. Экономико-математическое моделирование.
- •7.Моделирование в ”иccледовании операций”.
- •8. Субьективные проблемы исследований.
- •Литература
- •Дроздов Николай Дмитриевич, Сорокина Тамара Георгиевна Введение в прикладное математическое моделирование
5.4.2. Линейность и нелинейность.
Приведем некоторые высказывания, предостерегающие от необоснованного пренебрежения нелинейностями.
"Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает нашу жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм". "Ловушкой при математическом моделировании является пристрастие человека к линейности. Это особенно проявляется в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и допущения сформулированы заранее. Каким-то образом люди пришли к убеждению, что в окружающий нас мир линеен. Нет ничего более ошибочного. Однако это ложное мнение до такой степени предопределило методику исследования, что большинство аналитических методов, которым отдавалось предпочтение в прошлом, основано на использовании линейных систем уравнений. Ошибки и искажения возникают часто исключительно по этой причине".
Необходимо помнить эти предостережения. В то же время следует иметь в виду, что методы исследования линейных систем очень развиты и обоснованное применение линейной модели для нелинейной системы часто оказывается весьма эффективным. Линейная модель полезна в начале цепочки моделей, последовательно приближающихся к модели с требуемой адекватностью. Линейная модель часто позволяет сразу получить оценку порядка значений выходных переменных. Иногда нелинейную задачу удается просто свести к последовательности линейных моделей. Линеаризацией нелинейной задачи (например, методом "замораживания коэффициентов") можно получить линейную модель для достаточно корректной оценки воздействия на систему малых возмущений. Вопрос о возможности и целесообразности переход от нелинейности к линейности решается в каждой задаче конкретно на рациональном уровне.
5.4.3. Дискретность и непрерывность.
Вне зависимости от характера исследуемой системы может оказаться более предпочтительной дискретная или непрерывная (аналоговая) модель. Для исследования сложных систем зачастую требуется создание аналого-цифровой модели. Решение о дискретности или непрерывности модели принимается на этапе постановки задачи также на рациональном уровне.
5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
Все реальные процессы в той или иной степени носят стохастический характер. При решении одних задач случайные составляющие практически не влияют на результат и в модели не учитываются. В других задачах решение может быть получено только при учете случайных составляющих или различных неопределенностей, и соответствующие математические методы закладываются в модель. Достаточность детерминированной модели или необходимость создание стохастической модели иногда очевидна, иногда переход к стохастической модели происходит вследствие неудовлетворенности результатами, полученными на детерминированной модели.
5.5 Планирование эксперимента.
При планировании экспериментов ставится задача обеспечить достижение цели исследования при минимальных затратах ресурсов всех видов. Трудность получения необходимой достоверности результатов связаны с наличием помех различного рода, в том числе ошибок измерения входной информации.
При планировании вычислительного эксперимента необходимо, как минимум, определить область существования параметров и переменных, оценить хотя бы качественно или грубо количественно влияние изменения всех параметров и переменных на исходы модели и выбранные критерии качества решения задачи, подобрать примеры для анализа зависимостей исходов модели от параметров модели и входных переменных. Если модель статистическая, необходимо принять решение о том, как будет задаваться входная информация и порядок обработки исходов. С учетом этих соображений разрабатывается методика проведения эксперимента, включающая порядок проведения частных экспериментов и количество испытаний в каждом частном эксперименте, порядок обработки результатов, способы контроля течения эксперимента и порядок его корректировки в зависимости от промежуточных и конечных результатов.
Различают стратегическое и тактическое планирование.
Стратегическое планирование имеет целью создание общего плана эксперимента экономного с точки зрения потребных ресурсов и, соответственно, предусматривающего разумную последовательность частных экспериментов и промежуточных проверок, а также создание структурной основы для обучения самого исследователя.
Тактическое планирование связано с решением задач двух типов:
1) определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на достижение установившегося режима, минимизация потерь на переходной режим;
2) минимизация дисперсии исходов при одновременном уменьшении, по возможности, объема выборок.
В теории планирования эксперимента модельные переменные разделяются на "факторы" и "отклики". Термин "фактор" эквивалентен терминам “входная”, “экзогенная переменная". Термин "отклик" - терминам "зависимая”, “выходная”, “эндогенная переменная". Планирование экспериментов получило вначале распространение в биологии, сельском хозяйстве, где термины «отклик», «фактор» были понятны практикам.
Несмотря на развитую теорию планирования экспериментов, наиболее полное достижение целей планирования в значительной степени зависит от наличия соответствующего опыта у исследователя, так как планирование эксперимента в какой то мере является искусством.