- •Н.Д. Дроздов, т.Г. Сорокина введение в прикладное математическое моделирование
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Чистая (теоретическая) и прикладная математики – две стороны одной науки – математики.
- •1.1 Прикладные математические исследования и моделирование.
- •1.2. Две стороны математики.
- •1.3. Что должен знать и уметь прикладной математик.
- •1.4. О синтезирующей роли математики
- •2. Методология прикладных исследований
- •2.1. Принцип системности.
- •2.2. Система. Основные определения.
- •2.3. Системный подход-основа методологии системного анализа.
- •2.4. Основные закономерности организации материального мира
- •2.5. Основные методологические принципы организации прикладных исследований.
- •2.5.1. Необходимость участия математика на всех этапах решения прикладной задачи.
- •2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.
- •2.5.4. Сочетание формальных и неформальных понятий и рассуждений.
- •2.5.5. Необходимость учета при принятии решения многовариантности возможных результатов.
- •2.5.6. Трансформация математики при освоении новых областей знаний.
- •2.5.7. Необходимость учёта "нематематических" условий и ограничений.
- •3.Математическме методы
- •3.1 Общие положения
- •3.2. Особенности применения математических методов.
- •3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
- •3.2.2. Проблема бесконечности
- •3.2.3. Прикладная математика и число
- •3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
- •3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
- •3.2.6. О понятии функции
- •3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
- •3.2.8. О математической строгости
- •3.3. Типовые, рациональные рассуждения
- •3.4. Направления дальнейшего развития математических методов, связанные с развитием прикладных исследований .
- •4. Моделирование. Основые понятия
- •4.1. Определение понятия "модель".
- •4.2. Определение модели в логико-алгебраических терминах.
- •4.3. Классификация моделей.
- •4.4 Общие требования к моделям.
- •4.5. Структура моделей.
- •5. Этапы моделирования.
- •5.1.Блок-схема этапов моделирования.
- •5.2. Значение и содержание этапа “постановка задачи”.
- •5.3. Формализация задачи.
- •5.4. Некоторые проблемы, возникающие при формализации задачи.
- •5.4.1. Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.
- •5.4.2. Линейность и нелинейность.
- •5.4.3. Дискретность и непрерывность.
- •5.4.4. Детерминированность, случайность и неопределенность.
- •5.5 Планирование эксперимента.
- •5.6. Проверка модели.
- •5.7. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
- •6. Особенность исследования социальных и экономических процессов. Экономико-математическое моделирование.
- •7.Моделирование в ”иccледовании операций”.
- •8. Субьективные проблемы исследований.
- •Литература
- •Дроздов Николай Дмитриевич, Сорокина Тамара Георгиевна Введение в прикладное математическое моделирование
3.2.3. Прикладная математика и число
В чистой математике число это преимущественно логический объект, в прикладной - порядковый индекс, мера дискретной совокупности или непрерывной протяженности. Чистая математика может оперировать со сколь угодно большими числами. Однако полученные при этом результаты с позиции прикладных исследований не конструктивны. В прикладной математике реальные большие числа размываются, теряют индивидуальность. Очень большое число вообще теряет смысл. При использовании в прикладных исследованиях оценок, полученных теоретически, необходимо помнить о диапазоне значений рассматриваемых величин.
Аналогичные, как в случае больших чисел, ограничения возникают в прикладной математике и при рассмотрении формально определенных чрезвычайно малых чисел. Искусственные трудности могут возникнуть при неправильном выборе основной единицы измерения. " Истинная малость", которая что то еще значит, определяется осмысленной относительной точностью величин, т.е. параметрами измерительной техники. Сегодня наивысший уровень до 10-12 имеют относительные точности измерений времени и длины.
3.2.4. Замечание о невозможных и достоверных событиях
В прикладных исследованиях при изучении событий, вероятность которых очень мала, целесообразна замена утверждения малой вероятности утверждением невозможности. Например, при игре в шахматы с чемпионом мира человек, умеющий только переставлять фигуры на чистое поле, или на занятое поле, сняв соответствующую фигуру, может, не зная даже правил, выиграть с вероятностью не менее, чем 10 в -122 степени.
Ясно, что это событие невозможное. Аналогично, достоверно то событие, вероятность которого отличается от единицы на весьма малую величину.
3.2.5. Скорость сходимости вычислительных методов
В чистой математике понятие скорости сходимости отсутствует. В прикладных исследованиях скорость сходимости играет фундаментальную роль, поскольку понятие практической сходимости естественно включает в себя возможность достижения требуемой точности вычисления за практически реализуемое число шагов.
3.2.6. О понятии функции
В прикладной математике индивидуальную значимость имеют только аналитические, кусочно-аналитические и простые обобщенные функции. Общим в настоящее время для теоретических и прикладных исследований является трактовка функции как элемента функционального пространства.
3.2.7. Устойчивость относительно изменения параметров
Метод, используемый при решении прикладной задачи, можно считать эффективным, если он сохраняет свою силу при изменении (хотя бы небольшом) параметров задачи. Это свойство метода называется устойчивостью. Аналогично, математическая модель является устойчивой, если изменение в определенных пределах её параметров не вызывает качественного изменения её свойств. Возможная неустойчивость методов и моделей относительно изменения параметров должна быть предметом особого внимания при прикладных исследованиях. Для адекватности модели необходимо, чтобы её устойчивость соответствовала устойчивости моделируемой системы. Результаты применения неустойчивого метода могут иметь значение, если модель устойчива.
В рамках некоторой ситуации, включающей произвольные параметры, различают разные степени вырожденности*, равные количеству независимых числовых равенств, связывающих эти параметры. Точные методы, обоснованные для вырожденных ситуаций, могут быть использованы для анализа невырожденных ситуаций.