3.2. Особенности применения математических методов.
Особенности методологии и логики прикладной математики касаются и трактовки некоторых математических понятий и применения методов. Перечислим эти особенности
3.2.1. Существование в чистой и прикладной математиках
Согласно Д.Гильберту в рамках чистой математики понятие существования тождественно логической непротиворечивости. Математический объект существует как идея, не противоречащая принятой системе аксиом. В прикладной математике понятие существования математического объекта связано с каким либо образом реального объекта, т. е. математический объект существует как математическая модель реального объекта и может быть принципиально идентифицирован и конструирован.
Доказательство существования некоторого объекта естественно назвать конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает приближенная конструкция этого объекта, свойственная некоторому разумному классу реальных объектов.
Справедливы следующие соображения о необходимости "чистых теорем существования" для математического образования прикладных математиков: "Если удастся доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой постановки задачи, то, как правило, создается объективная уверенность в том, что исследование проводится в правильном направлении". В приведенном положении содержится некоторая неточность. Чистые теоремы существования не гарантируют в прикладных исследованиях адекватность модели объекту, отсутствие доказательств этих теорем не означает, что модель не обеспечит решение задачи с требуемой достоверностью. Отсюда не следует, что математические доказательства существования и единственности не послужат дополнительным подтверждением правильности модели. Кроме того, эти теоремы позволяют иногда получить математические формулы для приближенных вычислений.
3.2.2. Проблема бесконечности
В прикладных исследованиях реальные объекты конечны. Бесконечный математический объект может появится в результате упрощений, при которых "далекие" объекты теряют свою индивидуальность. Например, такие элементы появляются в бесконечно длинном стержне или в установившемся режиме вынужденных колебаний. Реальный размер пространственного или временного интервала, вне которого элементы теряют свою индивидуальность, строго определить не возможно. Интервал этот зависит от природы исследуемой системы, характера (цели, требуемых точностей и пр.) исследования. При анализе переходных процессов в системах различной природы бесконечность "наступает", когда отклонение процесса от устойчивого состояния будет меньше заданной из каких либо соображений величины. Другой случай появления бесконечности в прикладных исследованиях связан с такими преобразованиями конечной системы, когда каждый элемент теряет свое индивидуальное значение: дискретность заменяется непрерывностью, суммы - интегралом и пр.
Имеются существенные различия чистой и прикладной математик в понятии бесконечно малого. Чистая математика сегодня отвергает концепцию актуальной бесконечно малой. Дифференциальные законы прикладных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных бесконечно малых. Пример - вычисление плотности
.
В приведенной формуле фактически реальное вещество из частиц заменено математически сплошной средой. Эта операция называется континиуализацией.