М19. Максимальная кратность значения зацепления, которая может встретиться при вычислении разности гаммы шифрмашины "Хагелин"

Рассмотрим колесо с w штифтами, имеющее зацепление k. При взятии разности на любом расстоянии d, не кратном w, есть четыре возможности, показанные в таблице A.1:

Таблица А.1

Штифт N	Штифт (N+d)	Разность гаммы
Неактивный	Неактивный	0
Неактивный	Активный	+k
Активный	Неактивный	-k
Активный	Активный	0

Наибольшие значения разности оказываются равными k. Если теперь мы возьмем разность повторно, на любом расстоянии, не кратном w, то наибольшие значения разности гаммы, которые могут встретиться, равны

k-(-k)=2k,

и, в случае отрицательных величин,

-k-(+k)=-2k.

При каждом следующем взятии разности эти крайние значения могут вырасти не более, чем вдвое. Следовательно, после n-кратного применения операции взятия разности максимальное значение, кратное зацеплению, которое может встретиться, равно

2^(n-1)k.

Похожая ситуация возникает при реализации численных методов; там она принимает следующую форму:

единичная ошибка в таблице значений распространяется по "конусу ошибок"; максимальное значение ошибки после n операций взятия разности будет равно произведению величины исходной ошибки и максимального коэффициента в разложении (1+x)ⁿ.

Так, например, после шести операций взятия разности единичная ошибка распространится, и в центре шестой строки "конуса ошибок" будет в 20 раз больше по абсолютной величине. Более подробно об этом можно прочитать в [10.3].

M20. Определение смещения шифрмашины "Хагелин" с помощью коэффициента корреляции

Если барабан является известным, криптоаналитик может вычислить "теоретическое распределение" знаков шифрованного текста по известным частотам встречаемости букв языка открытого текста, лежащего под шифром, и по распределению частот 26 различных знаков гаммы. При этом значение смещения по умолчанию предполагается равным 0. Расчеты выполняются аналогично тому, как это описано в М6. Затем подсчитываются частоты встречаемости букв в реальном шифрованном тексте. Теперь два набора частот ("теоретический" и "реальный") сравниваются друг с другом для всех 26 возможных смещений, и в каждом случае подсчитывается коэффициент корреляции. В идеальном случае то значение смещения, при котором коэффициент корреляции максимален, и есть истинное значение. На практике вариантов может оказаться несколько, но, скорее всего, их будет не очень много. Каждое из этих значений придется опробовать. В деталях подсчет коэффициента корреляции описан в [2.4].

Глава 13 m21. (Порядок роста количества простых чисел)

Теорема о законе распределения простых чисел (см. [12.1]) утверждает, что с ростом числа N количество простых чисел, меньших N (которое традиционно обозначается (N)), можно асимптотически аппроксимировать величиной

.

Здесь логарифм берется по основанию e.

Отсюда следует, что с ростом N постепенно уменьшается доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N. Гаусс сформулировал теорему о законе распределения простых чисел в 1793 году, в результате изучения таблиц простых чисел, меньших 1000, 10000 и 100000; однако он не смог доказать ее. Соответствующие цифры представлены в таблице А.2.

Таблица А.2

N		Количество простых чисел, меньших N		Доля простых чисел среди всех чисел, меньших N
1000	168		1 из 5.95
10000	1229		1 из 8.14
100000	9592		1 из 10.43
1000000	78498		1 из 12.74

Если числа из правого столбца последовательно вычесть друг из друга, мы получим:

8.14 - 5.95 = 2.19,

10.43 - 8.14 = 2.29,

12.74 -10.43 = 2.31.

Гаусс предположил, что данная разность должна с ростом N быть относительно постоянной и приблизительно равной 2.3. Поскольку log(10) приблизительно равен 2.3, то отсюда следует, что при увеличении N в десять раз соответствующая доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N, должна вырасти в log(10) раз. Это утверждение эквивалентно формулировке теоремы о законе распределения простых чисел. Предположение Гаусса оказалось верным, однако прошло более ста лет, прежде чем теорема о законе распределения простых чисел была, наконец, доказана. См. об этом также [12.1].