Малая теорема Ферма

Вот несколько элементарных упражнений.

Каков будет остаток, если

1. 2⁴ разделить на 5?

2. 3⁴ разделить на 5?

3. 3⁶ разделить на 7?

4. 5⁶ разделить на 7?

5. 3¹⁰ разделить на 11?

6. 8¹⁰ разделить на 11?

7. 59⁹⁶ разделить на 97?

Решения

1. 2⁴=16=35+1. Остаток равен 1.

2. 3⁴=81=165+1. Остаток равен 1.

3. 3⁶=729=1047+1. Остаток равен 1.

4. 5⁶=15625=22327+1. Остаток равен 1.

5. 3¹⁰=59049=536811+1. Остаток равен 1.

6.  В данном случае можно избежать вычислений с большими числами, если использовать модульную арифметику, как описано в главе 1:

8=2³,

поэтому

8¹⁰=2³⁰=(2⁵)⁶=32⁶.

Поскольку

32-1(mod 11),

то

32⁶(-1)⁶=1(mod 11),

и следовательно, остаток равен 1.

(7) Остаток снова равен 1. Поскольку 59⁹⁶ - это очень большое число, запись которого состоит из 171 цифры, то использование модульной арифметики здесь просто необходимо. В деталях метод подсчета можно найти в M22.

Всегда ли остаток равен 1, когда слева показатель степени на единицу меньше значения модуля справа? Нет, это не так. Рассмотрим выражение

2¹⁴=16384=109215+4.

В данном случае остаток равен 4, а не 1. Почему это так? Ответ заключается в том, что 15=35, то есть это число не является простым. Малая теорема Ферма справедлива только для случая, когда модуль - простое число, такое как 5,7,11 или 97, как в приведенных выше примерах. Эйлер показал, как изменится формулировка теоремы, если модуль не является простым. В своем первоначальном виде теорема формулируется так:

Малая теорема Ферма

Если p - простое число, а m - любое число, которое не делится на p, то

m^p-11(mod p),

то есть число m^p-1 при делении на p дает остаток 1.

Доказательство этой теоремы совсем несложное, и его довольно легко обобщить, чтобы получить доказательство теоремы Ферма-Эйлера (оно приведено в М23).

Обобщение, сформулированное и доказанное Эйлером, справедливо для любого модуля, но в системе RSA используется частный случай, когда модуль является произведением только двух различных простых чисел. Поэтому стоит привести формулировку теоремы для этого случая:

Теорема Ферма-Эйлера (для случая системы rsa)

Если p и q - два различных простых числа, а m - любое число, которое не делится на p и q, то

m^(p-1)(q-1)1(mod pq).

В приведенном выше примере мы имели p=3, q=5 и m=2, и согласно данной теореме,

2^241(mod 15).

И действительно, 2⁸=256=1715+1.

Ключи зашифрования и расшифрования в системе rsa

Чтобы зашифровать текст с помощью метода RSA, нам потребуется:

1.  большое число n(=pq), являющееся произведением только двух различных простых чисел p и q. Вопрос, как именно отыскивать очень большие простые числа, весьма уместен. Мы уже сталкивались с этой проблемой раньше, в связи с системой рассылки ключей Диффи-Хеллмана. В общем случае потребуется значительный объем вычислений. Поскольку используемые простые числа в данном случае не могут иметь специального вида, такого как 2^p-1, то никаких действительно быстрых методов не найдено. Правда, существует метод нахождения предположительно простых чисел, в котором вероятность простоты числа может быть сделана сколь угодно близкой к единице, т.е. число будет простым почти наверное. (Детали можно найти в М24);

2.  целое число e, называемое ключом зашифрования, не имеющее общих делителей с (p-1)(q-1) и с самим числом n;

Для расшифрования текста, зашифрованного по методу RSA, далее нам понадобится

3.  целое число d, называемое ключом расшифрования, которое удовлетворяет условию

ed1(mod (p-1)(q-1)).

Теперь стоит отметить, что числа e и d симметричны друг относительно друга. Это говорит о том, что если d - ключ расшифрования для e, то e - ключ расшифрования для d. Значение этого факта станет ясно, когда мы будем рассматривать то, каким образом "хозяин" ключа расшифрования d может отвечать своим корреспондентам.

После того, как выбраны n и e, необходимо вычислить число d. Если p и q известны, существует метод нахождения d; но если p и q неизвестны, найти d невозможно. Именно этот факт обеспечивает стойкость системы RSA. Если p и q очень велики (например, более 10²⁰⁰), то найти их за приемлемое время (то есть факторизовать число n) не под силу даже наибыстрейшим компьютерам.

Прежде чем перейти к описанию самого процесса зашифрования, рассмотрим два примера, которые показывают, как найти d по известным значениям p, q и e. В первом примере все величины маленькие; второй пример оперирует несколько большими величинами, хотя они все равно гораздо меньше тех, что подходят для использования в алгоритме шифрования RSA.

Пример 13.1

Найти ключ расшифрования d, если n=91, а ключ зашифрования e=29.

Решение

В качестве первого шага отметим, что 91=713, поэтому, положив p=7 и q=13, получим

(p-1)(q-1)=612=72,

и поскольку число 29 на имеет общих делителей ни с 91, ни с 72, то оно годится в качестве ключа зашифрования по методу RSA. Чтобы найти соответствующий ключ расшифрования d, применяем алгоритм Евклида (он разъяснён в М25). Метод нахождения можно проиллюстрировать следующими шагами:

72=229+14,

29=214+1,

поэтому

1=29-214,

но, как мы видим из первого равенства, 14=72-229, и поэтому

1=29-2(72-229)=529-272, то есть

529=272+1,

откуда

5291(mod 72)

(т.е. 145=144+1), и следовательно, ключ расшифрования d=5.

Это может показаться странным, но метод состоит в том, чтобы с помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель ключа зашифрования e и числа (p-1)(q-1). Поскольку e и (p-1)(q-1) не имеют общих делителей, то их наибольший общий делитель равен единице. Если теперь мы "вернемся назад" по шагам алгоритма Евклида от последней строчки к первой, заменяя каждый раз последнее число справа его выражением через оставшиеся числа, то в конце концов получим ключ расшифрования d, определяемый приведенным выше сравнением из пункта (3). Формальное описание метода и альтернативный подход даны в М25.

Пример 13.2 (Немного более реалистичный случай, который мы будем использовать ниже)

Найти ключ расшифрования d, если n=3127, а ключ зашифрования e равен 17.

Решение

Заметим, что n=3127=5359, причем и 53, и 59 - простые числа. Следовательно, значение n годится в качестве модуля для системы RSA, а (p-1)(q-1)= 5258=3016. Далее, поскольку число 17 не имеет общих делителей ни с 3127, ни с 3016, то оно годится в качестве ключа зашифрования. Действуя, как и ранее, то есть по алгоритму Евклида, получаем:

3016=17717+7,

17=27+3,

7=23+1,

откуда

1=7-23,

но из второго равенства сверху следует, что 3=17-27, поэтому

1=7-2(17-27)=57-217,

а из первого равенства следует, что 7=3016-17717, поэтому

1=5(3016-17717)-217=53016-88717,

или

88717-1(mod 3016).

Нам требуется значение d, которое, будучи умножено на 17, даст при делении на 3016 остаток +1. Следовательно, оно равно -887, а не +887. Так как -8872129(mod 3016), то окончательно получаем, что ключ расшифрования d=2129.

(Проверка: 212917=36193=123016+1.)