Факторизация больших целых чисел

Перемножить два числа сравнительно нетрудно, особенно если у нас есть калькулятор, а числа не слишком велики. Если каждое из них не превосходит 10, даже ребенок сделает это без посторонней помощи. Если они не превосходят 100, то большинство, я надеюсь, в состоянии получить ответ с помощью карандаша и бумаги. Если оба числа больше 10000, то, скорее всего, понадобится калькулятор.

Факторизацией называется обратная задача - нахождение двух или более чисел, дающих при перемножении заданное число. Эта задача гораздо труднее, нежели перемножение чисел, и любому, кто пытался это сделать, об этом известно. Например, если от нас требуется умножить 89 на 103, то результат, 9167, будет получен меньше чем за минуту. Если же от нас требуется найти два числа, произведение которых равно 9167, то скорее всего, это займет у нас гораздо больше времени. Как мы могли бы это сделать?

Стандартный метод факторизации

Если от нас требуется факторизовать большое число N, необходимо воспользоваться следующим: если число N не простое, то оно должно иметь хотя бы два делителя, меньший из которых не может превосходить квадратного корня из N. Это означает, что для случая N=9167 нужно проверять на делимость только простые числа, меньшие 9167 (эта величина примерно равна 96). Наибольшее простое число, не превосходящее 96, равно 89, поэтому в нашем случае мы получили бы ответ при самой последней проверке, выполнив к этому моменту более двадцати операций деления. Если бы мы выполняли эти проверки для N=9161, то не нашли бы ни одного делителя, поскольку число 9161 - простое.

С увеличением N растет и число тестов, которые необходимо провести. Так, если N=988027, то оно либо простое, либо делится на число, не превосходящее 988027, что чуть-чуть меньше 994. Теперь следует разделить 988027 на каждое простое число, меньшее 994. Если мы обнаружим простое число, которое в точности (то есть без остатка) делит 988027, то задача решена. Если такого числа нет, то число 988027 является простым. На самом деле

988027=991997,

и поскольку 991 и 997 - это простые числа, то факторизация завершена. На это пришлось бы потратить массу усилий, поскольку существует более 160 простых чисел, меньших 991, и их придется все перепробовать, прежде чем будет найден ответ. Эта задача отнимет кучу времени и будет весьма утомительна, даже если использовать калькулятор. Человек, знакомый с программированием и имеющий компьютер, разумеется, мог бы поручить ему все вычисления. Независимо от того, каким образом это будет сделано, при увеличении N с 9167 до 988027 (то есть примерно в 108 раз) число операций деления, которые нам (или компьютеру) необходимо выполнить, возрастет с 20 до более чем 160. Заметим, что при росте числа N более чем в 100 раз (так что число N возросло более чем в 10 раз) число тестов вырастает только в 8 раз. Объяснение этого факта можно найти в M21.

Такой метод поиска простых делителей заданного числа, когда это число делят поочередно на все простые числа, меньшие его квадратного корня, по существу принадлежит Эратосфену и является стандартным методом как при факторизации числа (если он срабатывает), так и при доказательстве его простоты (если ничего не найдено). Это не единственный метод, которым можно воспользоваться. Иногда можно найти быстрый путь: например, можно заметить, что

9167=9216-49=96²-7²=(96-7)(96+7)=89103,

или, что еще лучше,

988027=988036-9=994²-3²=(994-3)(994+3)=991997,

но, вообще говоря, так везет далеко не всегда. Иногда существуют специальные приемы, позволяющие уменьшить число вариантов - например, если число, которое мы пытаемся факторизовать, является числом специального вида, таким как

2^p-1

где p - простое. Однако для чисел того типа, что применяется в системе RSA, такие специальные методики оказываются неприменимы.

Стойкость описанной далее системы шифрования RSA основана на следующем факте: факторизация большого числа требует значительных затрат времени даже в том случае, когда известно, что оно является произведением двух больших простых чисел. Что касается процесса зашифрования по системе RSA, то в его основе лежит красивая и мощная теорема, сформулированная в начале семнадцатого столетия без доказательства французским математиком Пьером Ферма (Pierre Fermat). Её часто называют "Малой теоремой Ферма", и её не следует путать с пресловутой "Великой теоремой Ферма" - её он также сформулировал без доказательства, а доказана она была только в 1993 году (см. [13.2]). Возможно, у Ферма и было доказательство его "Малой теоремы", однако представляется крайне маловероятным, чтобы он сумел доказать свою "Великую теорему". Швейцарский математик Леонард Эйлер^*) в 1760 году опубликовал доказательство Малой теоремы Ферма и получил ее обобщение, известное под именем теоремы Ферма-Эйлера. Именно эта теорема используется в алгоритме зашифрования/расшифрования RSA.

В качестве первого шага поучительно будет рассмотреть несколько примеров, которые иллюстрируют теорему, носящую название