Глава 8 м8. Частота появления случайных чисел на странице
Можно ожидать, что на странице, содержащей 100 двузначных случайных чисел, любое число из диапазона от 00 до 99 должно встретиться один раз. Вероятность того, что конкретное число не встретится на конкретном месте, равна 0,99. Поскольку все числа случайные, то вероятность того, что конкретное число вообще не встретится на странице из 100 чисел, равна
(0,99)100, то есть (1‑1/100)100.
Это значение приблизительно равно e-1, где число e=2,71828... - это основание натуральных логарифмов (об этом уже упоминалось выше, см. М1). Поскольку e-1=0,37 с точностью до двух десятичных знаков, то, следовательно, на типовой странице из 100 двузначных случайных чисел около 37 значений не должны встретиться вовсе. С другой стороны, там должно быть около
(т.е. около 6) значений, которые встречаются трижды. Можно также ожидать, что найдется одно число, которое встретится четыре раза, так как в этом случае ожидаемое число равно
,
и это значение лежит между 1 и 2.
(Мы, в действительности, утверждаем здесь следующее: вероятность того, что конкретное двузначное число встретится на странице из 100 случайных чисел ровно n раз, приблизительно равна
.
Это - частный случай распределения вероятностей, известного в теории вероятностей как распределение Пуассона. Всесторонне математическое исследование данного вопроса, подтверждающее правильность сделанного здесь утверждения, можно найти в книгах по теории вероятностей, например в [8.1])
М9. Комбинирование двух последовательностей двоичных знаков гаммы, имеющих отклонения
Если данные числовые последовательности независимы, но имеют отклонение в пользу нуля с вероятностью (0,5+x), то в последовательности, полученной суммированием этих последовательностей по модулю 2, вероятность нуля будет равна
(0,5+x)2 + (0,5-x)2 = 0,5+2x2.
Так, например, если x=0.01, то отклонение суммы двух последовательностей будет всего лишь 0.0002. (Если обе последовательности каким-либо образом связаны, то данное рассуждение неверно. Например, в случае двух идентичных числовых последовательностей их сумма по модулю 2 состоит из одних нулей.)
М10. Последовательность типа Фибоначчи
Будем следовать обозначениям, введенным в М5. Элементы этой последовательности порождаются линейной рекуррентой
U(n+1) = 2Un + U(n-1).
Для доказательства делимости на 5 каждого третьего элемента последовательности заметим, что, согласно рекуррентной формуле,
Un = 2U(n-1) + U(n-2),
поэтому, подставляя выражение для Un в выражение для U(n+1), получаем:
U(n+1) = 5U(n-1) + 2U(n-2).
И если Un-2 делится на 5, то отсюда следует, что U(n+1) также должно делиться на 5. Так как элемент U0 (который равен 0) делится на 5, то на 5 делятся также элементы U3, U6 и т.д.
Теперь рассмотрим утверждение о том, что отношение соседних элементов последовательности стремится к значению (1+2). Как и раньше, будем предполагать, что общий член последовательности Un можно представить в виде:
.
Применив рекуррентную формулу и начальные условия Un = 0 и U1 = 1, получаем: для того, чтобы общий член последовательности был представим в указанном виде, необходимо, чтобы и являлись корнями квадратного уравнения
X2 - 2X - 1 = 0,
причем B = -A, откуда получаем значения
= (1+2), = (1-2) и A =(1/22).
Отношение соседних элементов последовательности довольно быстро сходится к значению , так как по абсолютной величине меньше единицы и поэтому значения его степеней довольно быстро убывают. Поскольку = (1+2), то утверждение доказано.