M3. Парадокс дней рождения
Вероятность того, что два случайно выбранных человека родились в один и тот же день, равна 1/365. Мы не будем учитывать високосные годы, поскольку никакого заметного влияния на результат это не окажет.
Допустим, у на уже есть n человек, и у них у всех различные дни рождения. Если теперь к ним добавить (n+1)-го человека, то вероятность того, что у него (неё) день рождения не является общим ни с кем из остальных, равна
.
Поэтому вероятность того, что среди 23-х случайно выбранных людей никакая пара человек не имеет общего дня рождения, равна
,
что (с точностью до трех десятичных знаков) дает нам значение 0.493. Поэтому вероятность того, что хотя бы у одной пары будет общий день рождения, равна 1-0.493, то есть 0.507. Поскольку это число больше, чем 1/2, то более чем в половине случаев должна найтись пара с общим днем рождения. Если бы мы рассмотрели 22 человека, а не 23, то вероятность найти хотя бы одну пару с общим днем рождения была бы меньше половины ‑ она рана 0.476 (с точностью до трех десятичных знаков).
Глава 3 м4. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел
Предположим противное: допустим, что множество простых чисел конечно. Тогда все их можно перечислить:
2, 3, 5, 7, 11, ... , P.
Перемножив все их между собой и прибавив к произведению единицу, получим число N:
N = 235711 ... P + 1.
Очевидно, N не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11, ни... , ни на P, так как при делении на каждое из этих чисел в остатке получается 1. Итак, N не делится ни на одно из простых чисел из нашего списка. Следовательно, либо это число само является простым, либо делится на какое-нибудь простое число, не вошедшее в список. В каждом из этих случаев наш предполагаемый список всех простых чисел оказывается неполным. Поэтому множество простых чисел бесконечно.
Например, если бы кто-нибудь стал утверждать, что простыми являются только числа 2, 3 и 5, то он получит N=31, это простое число. Если затем он добавит число 31 к списку простых чисел, то
N = 23531+1 = 931 =7719,
и он получит простые числа 7 и 19, не входящие в список, и так далее до бесконечности.
Глава 6 м5. Последовательность чисел Фибоначчи
Через Un обозначим n-й элемент последовательности. Тогда последовательность порождается линейной рекуррентой
U(n+1) = Un + U(n-1), где U0 = 0 и U1 = 1.
Стандартный метод нахождения общего решения любой линейной рекурренты (такой, как эта) заключается в том, чтобы искать это решение в виде
,
где A, B, и являются константами. Подставим это выражение в данную рекурренту. Чтобы общий член последовательности имел такой вид, необходимо, чтобы и являлись корнями квадратного уравнения
X2 - X - 1 = 0.
Если в качестве взять положительный корень уравнения, то имеем:
и
,
или, в десятичной записи, = 1.6180... и =-0.6180...
Значения A и B находим, налагая начальные условия Un = 0 и U1 = 1, откуда получаем:
A = -B = 
.
Для больших значений n элемент последовательности Un равен целому числу, ближайшему к An, так что каждый элемент приблизительно в 1.6180... раз больше предыдущего. Поэтому 8-й элемент равен целому числу, ближайшему к
.
Это значение (с точностью до трех десятичных знаков) равно 21.006; ближайшее целое число поэтому равно 21. И действительно, 8-й элемент последовательности чисел Фибоначчи равен 21.
Описание свойств последовательности чисел Фибоначчи можно найти во многих книгах по элементарной теории чисел. Эта последовательность имеет давнюю историю. Фибоначчи, также известный под именем Леонардо из Пизы, привел ее в своей книге "Liber Abaci"*) в 1207 году. Эта последовательность обладает большим количеством различных свойств: например, каждый 5-й ее элемент делится на 5, каждый 8-й ее элемент делится на 7, а каждый 10-й элемент делится на 11. Подобные свойства, хоть и красивые с математической точки зрения, делают эту последовательность совершенно непригодной с криптографических позиций. Те, кто желает подробно изучить эту последовательность, могут обратиться к [6.5]. Также выпускается журнал, посвященный изучению последовательности Фибоначчи и других линейных последовательностей (см. [6.6]). Материалы по смежной тематике можно найти также в статьях, посвященных непрерывным дробям (см. [6.7]).