- •Глава 1. Введение 10
- •Глава 9. Шифрмашина "Энигма" 130
- •Глава 10. Шифрмашина "Хагелин" 152
- •Глава 11. После "Энигмы" 172
- •Глава 12. Криптография с открытым ключом 179
- •Глава 13. Шифрование и Интернет 188
- •Предисловие
- •Глава 1. Введение Некоторые аспекты безопасности связи
- •Шифр Юлия Цезаря
- •Несколько основных определений
- •Три этапа дешифрования: идентификация, взлом системы и вскрытие ключей.
- •Коды и шифры
- •Оценка стойкости системы шифрования
- •Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки
- •Другие методы сокрытия содержания сообщений
- •Модульная арифметика
- •Модульное сложение и вычитание букв
- •Заключение
- •Глава 2. От Юлия Цезаря до простой замены Шифры Юлия Цезаря и их вскрытие
- •Шифры простой замены
- •Вскрытие шифра простой замены
- •Частоты встречаемости букв в других языках, кроме английского
- •Сколько знаков необходимо для дешифрования простой замены?
- •Глава 3. Многоалфавитные системы Усиление системы Юлия Цезаря: шифры Вижанэра
- •Вскрытие шифра Вижанэра
- •Индикаторы
- •Одноключевые сообщения
- •Распознавание одноключевых сообщений
- •Какой объем текста необходим для дешифрования шифра Вижанэра?
- •Цилиндр Джефферсона
- •Глава 4. Шифры-головоломки
- •Перестановки
- •Простая перестановка
- •Двойная перестановка
- •Другие виды перестановок
- •Регулярные перестановочные таблицы
- •Нерегулярные перестановочные таблицы
- •Оценка стойкости шифров перестановки
- •Общая концепция двойного шифрования
- •Глава 5. Двухбуквенные шифры
- •Замена "монограф-диграф"
- •Мдпм-шифры
- •Система "диграф-диграф"
- •Шифр Плейфера*)
- •Расшифрование в системе Плейфера
- •Криптоаналитические аспекты системы Плейфера
- •Двойной шифр Плейфера
- •Глава 6. Коды Характеристики кодов
- •Одночастевые и двухчастевые коды
- •Код плюс аддитивное шифрование
- •Глава 7. Шифры для шпионов
- •Шифры-решетки
- •Книжные шифры
- •Использование книжного шифра
- •Частоты встречаемости букв в книжных шифрах
- •Вскрытие книжного шифра
- •Индикаторы
- •Катастрофические ошибки при использовании книжного шифра
- •Шифры "агента Гарбо"
- •Первый шифр "агента Гарбо"
- •Второй шифр "агента Гарбо"
- •Одноразовый блокнот
- •Глава 8. Получение случайных чисел и букв Случайные последовательности
- •Получение случайных последовательностей
- •Бросание монеты
- •Бросание костей
- •Извлечение из урны (по типу лотереи)
- •Космические лучи
- •Шум от усилителей
- •Псевдослучайные последовательности
- •Линейные рекурренты
- •Использование последовательности двоичных знаков гаммы для шифрования
- •Двоичные линейные последовательности как генераторы гаммы
- •Криптоанализ линейной рекурренты
- •Повышение стойкости двоичной гаммы
- •Генераторы псевдослучайных чисел
- •Метод срединных квадратов
- •Линейные конгруэнтные генераторы
- •Глава 9. Шифрмашина "Энигма" Историческая справка
- •Первая "Энигма"
- •Шифрование с использованием контактных колес
- •Шифрование в "Энигме"
- •Коммутатор "Энигмы"
- •Ахиллесова пята "Энигмы"
- •Цепочки индикаторов в "Энигме"
- •Выравнивание цепочек
- •Идентификация колеса r1 и его угловой установки
- •Двойное шифрование в "Энигме"
- •"Энигма" Абвера
- •Глава 10. Шифрмашина "Хагелин" Историческая справка
- •Конструкция шифрмашины «Хагелин»
- •Шифрование при помощи шифрмашины "Хагелин"
- •Выбор установок барабана в шифрмашине "Хагелин"
- •Теоретический объем перебора для шифрмашины "Хагелин"
- •Вскрытие установок "Хагелина" по отрезку гаммы
- •Дополнительные возможности шифрмашины "Хагелин"
- •Смещение
- •Определение смещения по шифрованному тексту
- •Перекрытия
- •Вскрытие шифрмашины "Хагелин" только по шифрованному тексту
- •Глава 11. После "Энигмы" sz42 - предтеча электронных машин
- •Описание шифрмашины sz42
- •Шифрование в машине sz42
- •Вскрытие шифрмашины sz42 и определение ее угловых установок
- •Модификации шифрмашины sz42
- •Глава 12. Криптография с открытым ключом Историческая справка
- •Вопросы безопасности
- •Защита программ и данных
- •Шифрование программ, данных и сообщений
- •Задача распределения ключей
- •Система ключевого обмена Диффи-Хеллмана
- •Стойкость системы Диффи-Хеллмана
- •Глава 13. Шифрование и Интернет Обобщение шифра простой замены
- •Факторизация больших целых чисел
- •Стандартный метод факторизации
- •Малая теорема Ферма
- •Теорема Ферма-Эйлера (для случая системы rsa)
- •Ключи зашифрования и расшифрования в системе rsa
- •Процессы зашифрования и расшифрования в системе rsa
- •Каким образом хозяин ключей отвечает корреспондентам?
- •Американский Стандарт Шифрования Данных (des)*)
- •Общие сведения
- •Процедура зашифрования
- •Процедура расшифрования
- •Стойкость des-алгоритма
- •Зацепление
- •Реализации des-алгоритма
- •Совместное использование алгоритмов rsa и des
- •Полезное замечание
- •После des-алгоритма
- •Проверка подлинности сообщения и удостоверение подлинности подписи
- •Криптография эллиптической кривой
- •Приложение. Математические вопросы Глава 2 м1. Совпадения знаков в алфавитах замены
- •М2. Снижение стойкости при использовании взаимно-обратных алфавитов
- •M3. Парадокс дней рождения
- •Глава 3 м4. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел
- •Глава 6 м5. Последовательность чисел Фибоначчи
- •Глава 7 м6. Частота встречаемости букв для книжного шифра
- •М7. Одноразовый блокнот дешифровать невозможно
- •Глава 8 м8. Частота появления случайных чисел на странице
- •М9. Комбинирование двух последовательностей двоичных знаков гаммы, имеющих отклонения
- •М10. Последовательность типа Фибоначчи
- •М11. Двоичные линейные рекурренты
- •M12. Восстановление двоичной линейной рекурренты по отрезку гаммы
- •М13. Получение псевдослучайных чисел
- •Глава 9 м14. Распайка колёс шифрмашины "Энигма"
- •М15. Число возможных отражателей шифрмашины "Энигма"
- •М16. Вероятность одноключевых сообщений для "Энигмы"
- •М17. Среднее число индикаторов, необходимое для построения полных цепочек
- •Глава 10 м18. Число возможных барабанов шифрмашины "Хагелин"
- •М19. Максимальная кратность значения зацепления, которая может встретиться при вычислении разности гаммы шифрмашины "Хагелин"
- •M20. Определение смещения шифрмашины "Хагелин" с помощью коэффициента корреляции
- •Глава 13 m21. (Порядок роста количества простых чисел)
- •M22. Вычисление остатка с использованием модульной арифметики
- •М23. Доказательство теоремы Ферма-Эйлера
- •М24. Нахождение чисел, "предположительно" являющихся простыми
- •M25. Алгоритм Евклида
- •М26. Эффективность возведения в степень методом последовательного возведения в квадрат
- •М27. Число ложных ответов при дешифровании des-алгоритма методом "встречного поиска "
- •М28. Криптография эллиптической кривой
- •Решения задач Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 13
- •Литература
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 12
- •Глава 13
Задача распределения ключей
Ситуация такова: X и Y хотят связываться друг с другом с помощью оговоренной системы шифрования. Третьему лицу, Z, известна эта их оговоренная система шифрования, он в состоянии перехватывать сообщения и желает иметь возможность читать их. X и Y могут знать, а могут и не знать о существовании Z, но они хотят быть уверены в том, что их сообщения должны быть непонятны всем, кроме них самих. Они обязаны допускать, что данная система шифрования известна как Z, так и всем окружающим. Система требует использования одного или более ключей, которые необходимо держать в секрете, и которые могут меняться время от времени (возможно, для каждого сообщения, а возможно, и реже). Каждый, кто получит доступ к ключам, и кто знает метод шифрования, сможет расшифровать их сообщения, поэтому необходимо сохранение этих ключей втайне. Каким образом X и Y могут сообщить друг другу свои ключи, не опасаясь того, что Z их перехватит и сможет воспользоваться ими?
Система ключевого обмена Диффи-Хеллмана
Изящное решение задачи ключевого обмена было предложено Диффи и Хеллманом в 1976 году (см. [12.6]). Чтобы воспользоваться этим методом, пользователям X и Y необходимо выполнить следующее:
X и Y договариваются об использовании двух целых чисел (например, p и m), где p - большое простое число, а m заключено между 1 и (p‑1). Значения p и m не нужно держать в секрете.
Пользователь X случайно выбирает секретное число x, а пользователь Y случайно выбирает секретное число y. Числа x и y лежат в диапазоне от 1 до (p‑1), и ни одно их них не должно иметь общих делителей с (p‑1). В частности, поскольку (p‑1) четно, то ни x, ни y не могут быть четными. Ни X, ни Y не сообщают свои секретные числа ни друг другу, ни кому-либо еще.
Пользователь X вычисляет выражение
kx = mx(mod p)
и посылает его пользователю Y, который возводит его в степень y, при этом получается число (kx)y.
Пользователь Y вычисляет выражение
ky = my(mod p)
и посылает его пользователю X, который возводит его в степень x, при этом получается число (ky)x.
Поскольку (kx)y = (ky)x mxy(mod p), то получившееся число K = mxy(mod p) может быть использовано как пользователем X, так и пользователем Y в качестве общего ключа, хотя ни один из них не знает секретного ключа другого.
Чтобы использовать систему Диффи-Хеллмана, сначала необходимо уметь найти очень большое простое число, а это задача нетривиальная. С такой же задачей мы снова встретимся при рассмотрении системы шифрования RSA (там требуются два больших простых числа), там же можно найти ссылки на литературу, в которой описан интересный подход к решению этой задачи.
В реальных условиях простое число p должно быть очень большим, но суть метода можно проиллюстрировать с помощью простого числа средней величины.
Пример 12.1
Пусть для системы Диффи-Хеллмана p=59, m=3, x=7 и y=11. Каковы будут значения kx, ky и K?
Решение
Во-первых, заметим, что (p‑1)=58=229, и это число не имеет общих делителей ни с x, ни с y.
Пользователь X вычисляет значение 37(mod 59), а пользователь Y вычисляет значение 311(mod 59). Эти вычисления можно производить по-разному, некоторые способы эффективнее других (см. приложение М22). В нашем случае числа достаточно маленькие, и возведение в степень можно произвести на карманном калькуляторе. Итак,
37=2187=3759+4,
311=177147=593002+29,
поэтому kx=4, а ky=29.
Значение общего ключа K получится, если вычислить либо выражение 411(mod 59), либо 297(mod 59). Оба выражения должны дать один и тот же результат; если это не так, то мы сделали ошибку. Поэтому для проверки вычислим оба значения. Теперь числа получаются довольно большие, поэтому вычислим их, приводя по модулю 59 после каждого возведения в степень:
45=1024=1759+2121(mod 59),
поэтому
410441=759+2828(mod 59),
и следовательно,
411428=112=159+5353(mod 59).
Приходим к выводу, что общий ключ K равен 53.
Производим проверку, вычисляя значение 297(mod 59).
292=841=1459+1515(mod 59),
поэтому
2932915=435=759+2222(mod 59).
Возводим в квадрат:
296484=859+1212(mod 59).
Окончательно,
2972912=348=559+5353(mod 59),
и мы получаем подтверждение, что в данном случае K=53.
Причина ограничения на отсутствие у чисел x и y общих делителей с (p‑1) заключается в том, что, если например, x имеет такой общий делитель, то значение kx, а следовательно, и значение общего ключа K, может оказаться равным 1 вне зависимости от значения y, что неприемлемо с криптографической точки зрения. Например, если p=31 и m=2, то ни x, ни y не должны иметь общих делителей с числом 30. Если бы X выбрал, например, число x=5, то
kx=25=321(mod 31),
и следовательно, kx=1, а с ним и K=1 независимо от того, какое значение y выберет пользователь Y.