Извлечение из урны (по типу лотереи)

Возможно использование системы, применяемой для розыгрыша номеров в лотерею (или бинго), с одним изменением: извлеченный номер немедленно возвращается обратно в барабан. Таким образом, в барабане вращаются 100 шаров, пронумерованных от 00 до 99. Шары извлекаются по одному, и номер извлеченного шара записывается, пополняя таблицу случайных чисел двумя десятичными цифрами. Извлеченный шар необходимо вернуть обратно в барабан, иначе его невозможно будет снова извлечь, и в этом случае на каждой странице из 100 двузначных десятичных чисел каждый из номеров будет встречаться один, и только один раз, а тогда последовательность уже не будет случайной. На типичной странице из 100 двузначных случайных чисел несколько номеров должны встретиться по три, или даже по четыре раза, в то время как от 30 до 40 номеров могут не встретиться вовсе. (Объяснение см. в приложении M8.)

Космические лучи

Космические лучи возникают, когда частицы солнечного излучения входят в атмосферу Земли, и в результате соударений рождается каскад новых частиц. Это - "природный" источник (предположительно) случайных событий. Если установить в помещении десять детекторов, таких как счетчики Гейгера, пронумеровав их от 0 до 9, и фиксировать порядок их срабатывания, мы получим подлинно непредсказуемую десятичную последовательность. Необходимо только позаботиться о том, чтобы во время срабатывания одного из детекторов не фиксировалось никакое другое событие до тех пор, пока детектор не вернется в исходное состояние, иначе в результирующей последовательности будет недостаточно "дуплетов", таких как 00, 11, и т.д.

Шум от усилителей

Шум в электрических цепях обычно считается помехой, но ему также можно найти хорошее применение в криптографии. Он может быть преобразован в сигнал, который используется для запирания и отпирания электрического вентиля, а это, в свою очередь, трактуется как 0 и 1. Если параметры схемы подобраны правильно, то получаемая таким образом двоичная последовательность и в самом деле будет случайной. Если схема имеет остаточное отклонение, так что вероятности появления нуля и единицы слегка отличаются от 0.5, то отклонение может быть значительно уменьшено путем суммирования (по модулю 2) двух или более подобных последовательностей чисел. Например, из двух независимых последовательностей, каждая из которых имеет отклонение 0.51 : 0.49 в пользу нуля, в результате сложения получится поток с отклонением всего лишь 0.5002 : 0.4998 (см. приложение M9).

Псевдослучайные последовательности

В главе 6 мы уже встречались с последовательностью чисел Фибоначчи. Это бесконечная последовательность целых чисел, получаемая с помощью простого правила: каждый ее элемент является суммой двух предыдущих. Традиционно эта последовательность начинается с двух первых элементов, равных 0 и 1. К сожалению, последовательность чисел Фибоначчи, как уже упоминалось выше, имеет ряд арифметических свойств, делающих ее совсем не подходящей в качестве источника псевдослучайных чисел. Однако допустим, что мы изменили правило получения чисел на другое, например, такое: каждый элемент равен удвоенному предыдущему элементу, сложенному с элементом, стоящим перед ним. Будет ли такая последовательность лучше подходить для наших целей? Если начать с 0 и 1 в качестве двух первых элементов, то первые 10 элементов последовательности выглядят так:

0,1,2,5,12,29,70,169,408,985.

Несложно заметить, что элементы этой последовательности четные и нечетные попеременно, и это уже само по себе является достаточным основанием не рассматривать ее в качестве источника псевдослучайных чисел. Конечно, вовсе не обязательно начинать с 0 и 1, в качестве первых двух элементов можно выбрать любые числа, но данный недостаток является существенным, поэтому любая последовательность, полученная таким образом, нам не годится. После знакомства с массой свойств последовательности чисел Фибоначчи логично ожидать, что данная последовательность также обладает целым рядом математических свойств: например, каждый третий ее элемент делится на 5, а отношение соседних элементов довольно быстро приближается к фиксированному числу:

2,41421356...

то есть

(1+2).

(Подробнее об этом см. приложением M10).