Термінологічний словник

Статистичний критерій це правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або не відхиляється (приймається).

Статистична гіпотеза — це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності.

Багатофазна вибірка - обстеження сукупності за двома й більше ознаками.

Розшарований (районований, типовий) добір — це спосіб формування вибірки з урахуванням структури генеральної сукупності.

Відносна похибка показує на скільки процентів вибіркова оцінка може відхилятися від параметра генеральної сукупності.

Запитання для самоконтролю

1. У чому суть вибіркового спостереження? Які його переваги порівняно з іншими видами спостереження?

2. Що означає репрезентативність вибірки? За яких умов вибірка буде репрезентативною?

3. Чому принцип випадковості добору є визначальним при формуванні вибіркової сукупності? Які способи добору забезпечують додержання цього принципу?

4. Чим відрізняється випадкова похибка репрезентативності від систематичної? Чи можна її уникнути?

5. Як визначити розмір похибки вибірки? Чим відрізняється гранична похибка вибірки від стандартної (середньої)?

13. Вивчається ефективність нової методики вивчення іноземних мов порівняно з традиційною. Сформулюйте нульову й альтернативну гіпотези.

14. Як перевірити справджуваність нульової гіпотези? Який рівень істотності доцільно використати?

15. Яка аналітична функція покладається на статистичний критерій?

16. Що таке критична область? Який висновок ви зробите, якщо статистична характеристика критерію потрапить у критичну область

Практичні завдання для самоконтролю

Задача 1

З метою визначення затрат часу на виготовлення деталі проведено хронометраж роботи випадково дібраних 25 робітників. За даними вибірки середні затрати часу становили 15 хв при  = 2 хв. Обчисліть похибку вибірки для середніх затрат часу і визначте:

а) Як зміниться похибка вибірки, якщо обсяг вибіркової сукупності збільшиться в 2,25 рази?

б) Як позначиться на похибці вибірки збільшення дисперсії в 1,6 рази?

в) Як зміниться похибка вибірки, якщо зі збільшенням дисперсії в 1,21 рази обсяг вибіркової сукупності збільшиться в 2,25 рази?

г) Як зміниться похибка вибірки, якщо виконати 19%-ний механічний добір?

д) Як зміниться похибка вибірки, якщо виконати розшарований добір (виокремити групи за стажем роботи) і міжгрупова дисперсія витрат часу становитиме 36% загальної?

Задача 2

Хімічний аналіз 25 партій молока дав такі результати: а) середній показник кислотності (у градусах Тернера) — 20 при дисперсії 3,24; б) частка партій молока, що відповідають стандарту кислотності (не більш як 21) — 80%.

Визначте похибки вибірки для середньої і частки з імовірністю 0,954;

Скільки партій молока необхідно перевірити, щоб похибки вибірки для середньої і частки з тією самою ймовірністю зменшити вдвічі?

Задача 3

Урожайність нового сорту озимої пшениці, розміщеного на 10 дослідних ділянках, становила 47 ц/га при дисперсії 1,44.

1) Визначте довірчий інтервал для середньої врожайності з імовірністю 0,95.

2) Чи узгоджуються вибіркові дані з припущенням, що врожайність нового сорту озимої пшениці не менша за 46 ц/га?

Задача 4

За даними 1%-ного вибіркового обстеження 100 домогосподарств маємо:

Характеристики домогосподарства	Середній рівень	Коефіцієнт варіації, %
Середня кількість працюючих осіб	2,1	45
Місячний середньодушовий дохід, грн.	180	52

Із імовірністю 0,954 визначте відносні похибки вибірки для зазначених показників, порівняйте похибки та зробіть висновки щодо їх розміру.

Задача 5

Проектується обстеження посівів соняшнику з метою визначення втрат насіння через несвоєчасне збирання врожаю. Скільки необхідно обстежити пробних ділянок, щоб з імовірністю 0,954 відносна похибка середніх втрат з 1 га не перевищила 10% ? За даними минулорічних обстежень квадратичний коефіцієнт варіації втрат насіння становив 20%.

Задача 6

За даними пробного вибіркового обстеження роботи ковальсько-пресового обладнання (обсяг вибірки — 16) у першу зміну без простоїв працювало 80% машин. Яка має бути вибіркова сукупність, щоб похибка вибірки для частки працюючого без простоїв обладнання з імовірністю 0,954 не перевищила 5%?

Задача 7

Скільки треба опитати респондентів, оцінюючи якість готельного обслуговування (задовольняє / не задовольняє), щоб гранична похибка вибірки часток з імовірністю 0,954 не перевищила 5%?

Задача 8.

Укажіть спосіб відбору спостережень:

а) під час обстеження завантаженості продавців магазину міста відбирали кожен десятий продовольчий магазин і кожен п'ятий непродовольчий;

б) для вивчення середньої кількості слів у телеграмі до вибірки потрапляла кожна двадцята телеграма;

в) у вибірковому обстеженні бюджету часу студентів із загального списку відібрали кожен п'ятий навчальний заклад, а потім у відібраних ВНЗ кожного десятого студента.

Задача 9.

У вищому навчальному закладі проводять вибіркове сспостереження стосовно пріоритетів життя у студентів. Далі описано можливі способи відбору:

а) у кожній п'ятій групі досліджують кожного студента (проводять суцільне спостереження);

б) зі списку студентів обирають кожного п'ятого студента;

в) у кожній групі випадковим чином обирають 20 % студентів;

г) зі списку студентів випадковим чином обирають 20 % студентів.

Визначте спосіб формування вибіркової сукупності.

Задача 10.

3а даними вибірки отримано такі результати: = 100; S² = 100; n= 500. Визначте межі для середнього значення у генеральної сукупності за ймовірностей 90, 95, 99, 99,9 %. Що відбувається з ширино інтервалу зі збільшенням імовірності похибки?

Задача 11.

Для кожного з набору даних, уміщених у таблиці, визначте 95 % -ний довірчий інтервал частки генеральної сукупності (випадковий повторний відбір):

Показник	А	Б	В	Г	Ґ	Д
	5,2	100	20	1020	7,3	33
S	0,6	9	14	180	1,2	6
п	144	576	196	324	100	225

На основі значення відносної похибки вибірки визначте, чи можна вважати ці вибірки репрезентативними.

Задача 12.

Для кожного з набору даних, уміщених у таблиці, визнач-68,3 % -ний довірчий інтервал середнього значення генеральної сукупності (випадковий повторний відбір):

Показник	А	Б	В	Г	Ґ	Д
w n	0,10	0,37	0,76	0,44	0,40	0,63
	100	259	114	616	600	1036

На основі значення відносної похибки вибірки визначте, чи можна вважати ці вибірки репрезентативними.

Задача 13.

Для кожного з набору даних, уміщених у таблиці, визначте 99 % -ний довірчий інтервал середнього значення генеральної сукупності(випадковий безповторний відбір):

Показник	А	Б	В	Г	Ґ
S2 n N	90	48	38	38	33
	81	75	81	81	75
	256	144	324	36	144
	2560	576	900	100	576

На основі значення відносної похибки вибірки визначте, чи можна вважати ці вибірки репрезентативними.

Задача 14.

За результатами простого повторного відбору відомо: середня дорівнює 8, середнє квадратичне відхилення — 2,7, а обсяг вибір - 36. За якої імовірності середня генеральної сукупності перебуває у межах від 76,65 до 9,35?

Задача 15.

Для перевірки ваги імпортованого товару на митниці відібрали 200 виробів (випадковий повторний відбір). У результаті встановили, що середня вага виробу дорівнює 30 г із середнім квадратичним відхиленням 4г. Визначте інтервали, в яких перебуває середня вага виробу в генеральній сукупності (з імовірністю 0,997).

Задача16.

За даними вибіркового спостереження 600 студентів одного із вищих навчальних закладів встановлено, що 40 % з них є курцями? (випадковий повторний відбір). З якою імовірністю можна стверджувати, що гранична похибка не перевищує 5 % ?

Задача 17.

За даними 25 % -ного механічного відбору в державній установі з'ясували, що 10% респондентів розлучені або розійшлися зі своїми партнерами. Загалом у цій установі працює 480 осіб. З імовірністю 0,683 встановіть межі, у яких перебуває частка таких осіб у генеральній сукупності.

Задача 18.

За допомогою простого відбору планують обстежити туристичні фірми міста, щоб з'ясувати середньомісячну кількість реалізованих путівок. Загалом у місті працює 100 туристичних фірм. Якою має бути кількість вибірки, аби з імовірністю 0,683 похибка не перевищувала 3 путівки, якщо за даними пробного обстеження дисперсія становить 225?

Задача 19.

Партія містить 16000шт. товару. За допомогою випадкового безповторного відбору перевірили 1600 одиниць цього товару і виявили, що вага 40-ка з них не відповідає гранично можливій вазі (тобто є бракованими). Визначте інтервал, у якому перебуває відсоток браку для всієї партії продукції (за ймовірності 0,997).

Задача 20.

За допомогою вибіркового спостереження потрібно визначити частку телефонних розмов, які тривають менше ніж 5 секунд. Жодних попередніх даних про цю частку немає. Визначте кількість вибірки, якщо результати потрібно дати з точністю до 4 % і гарантувати це з імовірністю 0,954. Як зміниться обсяг вибірки, коли стане відомо, що, за даними аналогічних обстежень, частка таких розмов становить 21,2 %?

Задача 21.

На одному з факультетів вищого навчального закладу навчається 3000 осіб. За допомогою безповторного випадкового відбору обстежили 1000 студентів і з'ясували, що минулого семестру 820 студентів пропустили бодай одне заняття не через хворобу. Визначте: 1) частку студентів, що пропустили бодай одне заняття за даними вибірки; 2) межі для част усіх студентів факультету, що не пропустили жодного заняття, з імовірністю 0,954.

Задача 22.

Обстеження населення області планують проводити за допомогою випадкового безповторного 10 %-ного відбору. Якою має бути мінімальна кількість населення області, щоб гранична похибка вибірки з імовірністю 0,997 для визначення частки різноманітних ознак не перевищувала 0,5 %?

Задача 23.

Скільки домогосподарств необхідно обстежити, щоб похибка частки домогосподарств, які складаються з неодружених пар, не перевищила 5% ? За даними попереднього обстеження, частка таких домогосподарств становила 14,2 %, точність, з якою необхідно гарантувати результат, — 0,954 (0,997).

Задача 24.

Для того, щоб з'ясувати причини вибору місця навчання, опитали 50 випадково відібраних студентів. Одним із варіантів відповіді було: "Таким було бажання батьків". Його обрали 16 % опитаних. Визначте з імовірністю 99,7 % межі частки таких студентів у генеральній сукупності. Як змінюється величина граничного інтервалу, якщо опитати не 50, а 70 студентів?

Задача 25.

За допомогою випадкового відбору міська телефонна станція отримала такі дані, вміщені в таблиці, про тривалість телефонних розмов:

Тривалість телефонної розмови, хв.	Кількість розмов
До 5 5—10 10—15 15—20 20 і більше	14 32 39 11 4
Усього	100

Визначте: 1) середню тривалість однієї розмови; 2) дисперсію середньої тривалості однієї розмови; 3) граничну похибку тривалості однієї розмови генеральній сукупності; 4) межі, у яких перебуває середня тривалість однієї розмови в генеральній сукупності; 5) імовірність, з якою можна стверджувати, що похибка середньої тривалості однієї розмови не перевищує 1хв. Чи є ця вибірка репрезентативною?

Задача 26

У місті є 250 тисяч домогосподарств. За даними, вміщеними в таблиці, 2 % -ного випадкового безповторного відбору, розподіл домогосподарств за кількістю дітей є таким:

Кількість дітей у домогосподарстві	Кількість домогосподарств
1	2
0	1000
1	2000
2	1200
3	400
4	200
5	200
Усього	5000

Визначте: 1) середню кількість дітей; 2) дисперсію кількості дітей 3) середню похибку вибірки; 4) межі, в яких перебуває середня кількість дітей у генеральній сукупності (з імовірністю 0,954).

Задача 27.

Для планування вибіркового обстеження особистих підсобних господарств населення використовують таку інформацію, вміщені в таблиці:

Тип поселення	Усього домогосподарств, млн	Частка домогосподарств, що утримують бджіл (обстеженим попереднього року)
Великі міста	7,2	1
Малі міста	4,8	17
Села	5,6	65

З імовірністю 0,954 визначте необхідний обсяг вибірки за безповторного відбору, щоб відносна похибка вибірки не перевищувала 5 % відбору, пропорційного до: 1) обсягу типових груп; 2) варіації ознаки. Який відбір у цьому випадку доцільніше застосовувати?

Задача 28.

На одному з факультетів вищого навчального закладу навчається 3000 студентів, у тому числі на першому курсі — 730, другому — 665, третьому — 605, четвертому — 530. Для вивчення витрат часу на підготовку до занять планують організувати типову вибірку. За результатами аналогічного дослідження, на іншому факультеті внутрішньогрупова дисперсія дорівнює 250. Скільки студентів із кожного курсу необхідно опитати, щоб гранична похибка вибірки не перевищувала 10 хв. з імовірністю 0,997?

Задача 29

На факультеті навчається 100 груп (усі групи складаються з однакової кількості студентів). Провели вибіркове спостереження за допомогою серійного відбору. У студентів 10-х груп запитували, скільки годин вони провели в бібліотеці минулого тижня. Групові середні бібліотечного часу такі (год.): 0; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 15; 20; 30. З імовірністю 0,954 визначте межі бібліотечного часу для студентів усього факультету.