Тема 6. Аналіз рядів розподілу

Основні поняття та категорії:

• варіація;

• дисперсія;

• розмах варіації;

• середнє квадратичне відхилення;

• середнє лінійне відхилення;

• кореляційне відношення;

• метод моментів;

• момент першого порядку;

• момент другого порядку.

Методичні вказівки:

Термін "варіація" походить від латинського variato— зміна, коливання, відмінність.

Варіацією в статистиці називають кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, які зумовлені впливом дії різних факторів.

Для характеристики коливання певної ознаки в даній сукупності (варіації) обчислюються спеціальні показники:

1. розмах варіації: R = X_max – X_min – різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки;

2. середнє лінійне відхилення ( ) – обчислюється з модулів відхилень кожної варіанти від середньої величини:

=	- (просте, коли дані не згруповані);
або
=	- (зважене, для варіаційного ряду, коли частоти нерівні)

3. середній квадрат відхилення або дисперсія ( ) – (сігма) являє собою середню арифметичну квадратів відхилень варіант від їх середньої арифметичної величини:

=	- (проста)
=	- (зважена)

4. середнє квадратичне відхилення – являє собою квадратний корінь з середнього квадрату відхилення (дисперсії)

=	- (просте)
=	- (зважене)

5. Коефіцієнт варіації (V) являє собою процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середньої величини даної ознаки:

Коефіцієнти варіації розраховують за формулами

лінійний ;

квадратичний ;

осциляції .

Приклад.

На основі даних про розподіл 60 робітників за тарифним розрядом розрахуємо основні показники варіації. Розрахунок оформимо в таблиці:

Тарифний розряд, хі	Число робітників, fі
2	8	1,9	15,2	28,88
3	16	0,9	14,4	12,96
4	17	0,1	1,7	0,17
5	12	1,1	13,2	14,52
6	7	2,1	14,7	30,87
∑	60	-	59,2	87,40

1. Середнє лінійне відхилення:

= = = 0,987

2. Дисперсія:

= = = 1,46

3. Середнє квадратичне відхилення:

= = = 1,21

4. Коефіцієнт варіації:

= 100% = 31,0%

Виходячи з математичних властивостей дисперсії, можна обчислити її способом моментів:

= і² (m₂ – m₁²), = і ;

де: m₁ = - момент першого порядку;

m₂ = - момент другого порядку,

і – розмір інтервалу в інтервальному варіаційному ряді;

а – середнє значення інтервального ряду.

Алгоритм обчислення середнього квадратичного відхилення спрощеним способом – способом моментів.

1. Якщо ряд інтервальний, то його перетворюють у дискретний.

2. Від кожної варіанти віднімається число а.

3. Спрощені варіанти діляться на число і.

4. Спрощені варіанти множаться на відповідні частоти

( )f і обчислюється сума .

5. Можна обчислити момент першого порядку

m₁ =

6. Зменшені варіанти підносяться до квадрату

( )²

7. Обчислюється добуток квадратів зменшених варіантів на частоти і знаходимо суму добутків

8. Обчислюється момент другого порядку

m₂ =

9. Підставивши значення m₁ і m₂ у формулу, можна визначити дисперсію і середнє квадратичне відхилення

= і² (m₂ – m₁²) = і

Денна виручка продавця, грн.	Кількість продавців	Розрахункові дані
		х - а а = 280	і = 10	fі	( )2	( )fі
х	f
250	5	-30	-3	-15	9	45
260	12	-20	-2	-24	4	48
280	20	0	0	0	0	0
300	10	20	2	20	4	40
310	3	30	3	9	9	27
Всього	50	х	х	-10	х	160

m₁ = = -0,2;

m₂ = = 3,2

= і = 10 = 10 = 10(±1,78) = ±17,8грн.

= і² (m₂ – m₁²) = 10²(3,2 – (-0,2)²) = 100 (3,2 – 0,04) = 316грн.

або = = = 17,8грн.

Якщо якась сукупність одиниць поділена на групи, то можна обчислити загальну дисперсію, а також дисперсії для кожної групи окремо і середню із групових.

В курсі математичної статистики доведено закон складання дисперсій:

= ,

де = -

середня із групових дисперсій (m – число виділених груп, nі – число одиниць в кожній групі).

= -	міжгрупова дисперсія ( – групові середні, – загальна середня).

Розглянемо конкретний приклад.

Відомі наступні умовні дані по трьом групам робітників з різним стажем роботи:

Стаж роботи (роки)	Число робочих ni	Середньотижнева зарплата, грн.	Середнє квадратичне відхилення зарплати, грн. σі
до 3	10	500	12
3-10	15	600	10
більше 10	25	700	20

Розрахувати:

а) середньотижневу зарплату для всієї сукупності робітників;

б) загальну дисперсію і середнє квадратичне відхилення зарплати.

Рішення:

Загальна середня:

=	∑ уini	=	500×10 + 600×15 + 700×25	=	31500	=	630 (грн.)
	∑ ni		10 + 15 +25		50

Загальну дисперсію знаходимо за правилом складання дисперсій:

=

Знаходимо середню із групових дисперсій:

= = грн.

Міжгрупова дисперсія:

= = грн.

Загальна дисперсія середньотижневої зарплати:

= = 258,8 + 6100 = 6358,8

Звідси середнє квадратичне відхилення середньотижневої зарплати у всій сукупності робітників

Відношення міжгрупової дисперсії до загальної характеризує частку варіації результативної ознаки, яка пов’язана з варіацією групувальної ознаки.

Це відношення називають кореляційним і позначають символом :

Отже, 95,9% варіації зарплати пов’язані зі стажем роботи.