2. Рівняння Бернуллі.

Означення. Рівняння виду y′=a(x) y+ b (х) у , n 1 називається рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі зводиться, за допомогою заміни невідомої функції, до лінійного рівняння. Представимо рівняння у вигляді =a(x) + b (х) . Нехай u= , тоді u′= ( 1-n) y′ і = u′.

Отже, підставляючи у вихідне рівняння отримаємо u′= a(x)u+ b(х) - лінійне рівняння відносно u.

3. Рівняння Рікатті – Буля.

Означення. Рівняння виду y′+a(x) y+ b (х) у =f(x) називається рівнянням Рікатті – Буля.

Загальний розв’язок рівняння не важко знайти якщо відоме яке-небудь рішення рівняння. Дійсно, якщо - який-небудь розвязок рівняння, то розглянемо заміну y= +z, де z – невідома функція. Підставляючи у рівняння отримаємо , або , . Отже відносно z маємо рівняння Бернуллі .

4.Рівняння в повних диференціалах.

Означення. Рівняння називають рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції.

Необхідною і достатньою умовою (згідно з курсом математичного аналізу) для того щоб вираз був повним диференціалом у деякій області є неперервність функції їх частинних похідних у цій області та виконання рівності .

Нехай рівняння в повних диференціалах, до його можна переписати у вигляді ( ), отже F(x,y)=c – загальне рішення рівняння.

Якщо рівність не виконується то може так статись, що існує (інтегруючий множник) для якого рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Тоді розв’язок рівняння (що випливає з умови ). Зауважимо, що якщо вираз залежить тільки від однієї змінної х або у, то і можна шукати як таке,що залежить від тієї ж змінної:

(якщо залежить тільки від х ),

(якщо залежить тільки від у ).

Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Необхідні відомості: 1. Означення лінійного рівняння.

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

3. Рівняння Бернуллі.

4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Задачі.

1. y′ + 2xy=x

2. y′=

3. Точка масою, рівної m, рухається прямолінійно; на неї діє сила, пропорційна часу (коефіцієнт пропорційності дорівнює k ), що пройшов від моменту, коли швидкість рівнялася нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорційне швидкості (коефіцієнт пропорційності дорівнює k). Знайти залежність від часу.

4. Знайти лінію, у якої початкова ордината будь-якої дотичної на дві одиниці масштабу менше абсциси точки торкання.

5.

6.

7.

8.

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальні рішення рівнянь.

1. 2ydx+(y - 6x)dy=0

2. (1+x ) y′ - 2xy= (1+x )

3. y′+y=cos x

4. 2ydx+ (y - 6x) dy=0

5. y′=

6. x(y′ - y)=(1+x²)

Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам.

7. y′ - ytg x=sec x; y| =0

8. xy′ - =x; y| =0

9. t (1+t²) dx=(x+xt² - t²) dt; x|

10. xy′+y =0;

11. Знайти лінію, у якої площа прямокутника, побудованого на абсцисі будь-якої точки й початковій ординаті дотичної в цій точці, є величина постійна (= ).

12. Знайти лінію, для якої площа трикутника, утвореного віссю абсцис, дотичної й радіус-вектором точки торкання, постійна (= ).

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.