Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження

1.Редукція, загальної задачі.

Розв’язок загальної крайової задачі

може бути представлено в вигляді

де - розв’язок наступних часткових крайових задач:

.

Аналогічна редукція буде проводитись і для інших крайових задач.

2. Формула Даламбера.

Розглянемо задачу для прямої (безмежної струни)

.

Рівняння характеристик розпадається на рівняння

,

інтегруючи які отримаємо .

Зробимо заміну

Рівняння коливання струни прийме вигляд .

Тоді для будь якого розв’язку рівняння отримаємо і

, де і довільні функції.

Переходячи до змінних отримаємо

- загальний інтеграл рівняння.

Знайдемо і при яких виконуються початкові умови:

.

Із другого рівняння

- константи.

З рівностей

знайдемо

.

Підставивши в отримаємо

(формула Даламбера).

Формула Даламбера задовольняє (мається на увазі для двічі диференційованої функці і диференційованої функції ) рівнянню та початковим умовам. Таким чином, викладений метод доводить як єдиність (будь який розв’язок виражається однією і тою ж формулою), так і існування розв’язку задачі.

Зауваження. Функція , що визначена за формулою Даламбера, описує процес розповсюдження початкової швидкості. Припустимо що спостерігач знаходиться у момент в точці та рухається зі швидкістю у позитивному напрямку. Впровадимо систему координат, що зв’язана зі спостерігачем, , . В цій рухомій системі має визначатися формулою , і спостерігач буде бачити весь час один і той же профіль, що і в початковий момент. Отже, удає незмінний профіль , що поширюється праворуч зі швидкістю . Функція - удає хвилю, що поширюється ліворуч зі швидкістю . Таким чином, загальний розв’язок задачі Коші для нескінченної струни є суперпозиція двох хвиль , одна з яких поширюється праворуч, а друга ліворуч зі швидкістю .

3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.

Задача. Знайти розв’язок рівняння коливань

що задовольняє граничній умові (або )

та початковим умовам .

Розглянемо спочатку ситуацію однорідної граничної умови (струна з закріпленим кінцем (або вільним кінцем)).

Для рівняння коливань на безмежній прямій справедлива лема (із формули Даламбера)

Лема. Якщо початкові дані в задачі про поширення коливань на необмеженій прямій являються непарними (парними) функціями відносно деякої точки х₀, то відповідний розв’язок (похідна по х розв’язку) в цій точці х₀ дорівнює 0.

За допомогою леми розв’яжемо задачу:

знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

і граничній умові .

Розглянемо функції Φ(х), Ψ(х) – що являються непарним продовженням і :

.

Функція

в силу леми, задовольняє рівностям ,

.

Розглядаючи отриману функцію тільки для отримаємо функцію, що задовольняє усім умовам поставленої задачі.

Повертаючись до функцій і можемо написати

Аналогічно розглядається ситуація з вільним кінцем (в цьому випадку і продовжують парним чином). Розглянути самостійно.

Розглянемо розв’язок рівняння при нульових початкових і довільній граничній умовах:

.

Граничний режим викликає хвилю, що поширюється впродовж струни зі швидкістю , тобто розв’язок має вигляд:

.

Визначимо з умови

,

так, що .

Але ця функція визначена лише в області , так як визначена для . Щоб знайти для всіх аргументів продовжимо на поклавши , . Тоді задана для всіх аргументів і задовольняє нульовим початковим умовам.

Розв’язок задачі:

представляється у вигляді суми розв’язків попередньої задачі та і має вигляд

.