Узкополосный случайный процесс

К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых соредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f₀ (рис. 2), то есть  f<<f₀.

    Рис. 2

Пример реализации такого случайного процесса показан на рис. 3, где  (t) - огибающая.

Рис. 3

Шумовое колебание с узкополосным спектром следует рассматривать как высокочастотное колебание с медленно изменяющимися огибающей X(t) и фазой  (t):

x(t) = X(t)cos[ ₀t+ (t)] = X(t)cos (t),

причем  ₀ является центральной частотой спектра шума. Мгновенные значения амплитуды X(t), фазы  (t) и частоты

являются случайными функциями времени  .

Задачи и этапы синтеза

Синтезом цепи называют нахождение ее схемы и параметров, обеспечивающих получение заданного режима работы. Эта область теории цепей является более сложной, чем анализ прохождения сигналов через заданную линейную цепь. В большинстве случаев задача синтеза не имеет однозначного решения и заданный режим работы может быть реализован множеством разных вариантов схем. Некоторые задачи вообще не имеют решения.

Синтез цепи может быть проведен как в частотной области, когда известно, какие преобразования спектра входного сигнала должна выполнять синтезируемая цепь, так и во временной области, когда заданными являются временные функции отклика цепи. Обычно желательным является получение оптимальной цепи (с минимальным числом элементов) и характеристикой, наилучшим образом приближенной к идеальной. Однако идеальные характеристики, как правило, нереализуемы. Поэтому приходится выбирать способы аппроксимации реальной характеристики цепи так, чтобы она наилучшим образом приближалась и отвечала бы требованиям к ней.

Синтезируемая цепь считается физически осуществимой, если ее схема может быть составлена из элементов с вещественными положительными параметрами, т.е. из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности или взаимоиндуктивности.

Синтез линейной цепи состоит из трех этапов.

Первый этап – это этап расчета схемы цепи по заданным характеристикам. На этом этапе определяется порядок схемы. Целью аппроксимации является определение такой передаточной характеристики цепи, чтобы она была физически реализуемой.

Второй этап называется этапом реализации цепи. На этом этапе находится электрическая цепь, обладающая заданной характеристикой.

Третий этап является этапом проектирования цепи из конкретных элементов

Характеристики цепи и связь между ними

Характеристика цепи связывает между собой функцию, описывающую отклик в заданном элементе цепи, с функцией, определяющей воздействие на цепь, в виде аналитического выражения:

.

В зависимости от выбранного элементарного (эталонного) воздействия получают различные характеристики (функции) цепи. Эти характеристики называют передаточными.

Так, если функция воздействия имеет вид единичного скачка, то передаточная характеристика называется переходной g(t); при воздействии типа дельта-импульса характеристикой цепи является импульсная характеристика h(t) ; при гармоническом воздействии реакцию цепи определяет комплексная частотная характеристика .

При анализе переходных процессов свойства цепи удобно описывать операторной передаточной характеристикой Н(р), представляющей собой отношение изображений по Лапласу воздействия и отклика. Если в Н(р) вместо комплексной частоты р=  j поставить величину j , то получится частотная передаточная характеристика. Кроме того, оригиналом от операторной передаточной характеристики является импульсная характеристика, а изображению соответствует оригинал в виде переходной передаточной характеристики. Таким образом, операторная передаточная характеристика Н(р) является наиболее общей, поэтому ее часто называют обобщенной передаточной характеристикой цепи, и именно она часто является основой ее реализации.

В качестве обобщенной передаточной характеристики синтезируемой цепи могут быть использованы:

1. входное обобщенное сопротивление (проводимость) , где U₁(p) и I₁(p) – изображения по Лапласу напряжения и тока при произвольном воздействии на цепь;

2. передаточная обобщенная характеристика по напряжению , где индексы 1 и 2 соответствуют входу и выходу цепи;

3. передаточная обобщенная функция по току ;

4. передаточная обобщенная проводимость (сопротивление)

Передаточную характеристику типа а) иногда называют входной функцией, цепь в этом случае реализуется в виде двухполюсника. Если же заданы передаточные характеристики типа b), c),d), то результатом синтеза должна быть схема в виде четырехполюсника.

Свойства обобщенных входных функций

Представим линейный двухполюсник при произвольном воздействии u(t) в виде рис.1.

Рис. 1

В общем случае мгновенные значения тока i(t) и напряжение u(t) связаны линейным дифференциальным уравнением:

. (1) Здесь все коэффициенты уравнения a_i,b_i – вещественные положительные числа.

Записывая уравнение (1) при нулевых начальных условиях в операторном виде, получим

,

(2)

где

     .

Из выражения (2) получаем

                                                                       .

Таким образом, входная функция является отношением двух полиномов с положительными вещественными коэффициентами.

Нулями входной функции Z(p) называются корни полинома числителя, а полюсами – корни полинома знаменателя. Для любого пассивного двухполюсника с положительными коэффициентами дифференциального уравнения (1) полюса входной функции располагаются в левой части плоскости комплексной частоты ( , j ), т. е. действительные части всех полюсов отрицательны.

Если функция Z(p) не имеет полюсов на мнимой оси, то цепь является минимальным реактивным сопротивлением (индуктивностью), а если функция Y(p)не имеет полюсов на мнимой оси, то цепь называется цепью минимальной реактивной проводимости (емкостью). Если все нули входной характеристики расположены в левой полуплоскости, то такая цепь называется минимально-фазовой. На рис.2 показаны примеры карты нулей (кружочки) и полюсов (крестики) для некоторых типов цепей.

а) Индуктивность:               б) Последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности:         в) Емкость:       г) Последовательное соединение активного сопротивления, емкости и индуктивности:   полюс при , нули при

Рис. 2

Дискретизация аналоговых сигналов. Ряд Котельникова

Всякое непрерывное сообщение s(t), занимающее конечный интервал времени Т_с , может быть передано с достаточной точностью конечным числом N отсчетов (выборок) s(nT), т.е. последовательностью коротких импульсов, разделенных паузой.

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т_с до , где - длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):

если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем F_m, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на секунд и может быть представлена рядом:

.

(1)

Здесь величина обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а

- время выборки, - значение сигнала в момент отсчета.

Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT)} иногда называют временным спектром сигнала.

Функция

обладает следующими свойствами:

а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции равен 0, а значение ее равно 1;

б) в точках t=kT, функция , т.к. аргумент синуса в этих точках равен , а сам синус равен нулю;

в) спектральная плотность функции u_n(nT) равномерна в полосе частот и равна . Этот вывод сделан на основе теоремы взаимности частоты и времени пары преобразований Фурье. ФЧХ спектральной плотности линейна и равна (в соответствии с теоремой о сдвиге сигнала). Таким образом,

.

Временное и частотное представления функции u_n(t) даны на рис.3.

Рис. 3

Графическая интерпретация ряда Котельникова представлена на рис.4.

Рис. 4

Ряд Котельникова (1) обладает всеми свойствами обобщенного ряда Фурье с базисными функциями u_n(nT), и поэтому определяет функцию s(t) не только в точках отсчета, но и в любой момент времени.

Интервал ортогональности функции u_n равен бесконечности. Квадрат нормы

.

Коэффициенты ряда, определяемые по общей формуле для ряда Фурье, равны (с использованием равенства Парсеваля):

Так как

следовательно

При ограничении спектра сигнала конечной наивысшей частотой ряд (1) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал Т между выборками меньшим, чем , то ширина спектра базисной функции будет больше ширины спектра сигнала, следовательно точность воспроизведения сигнала будет выше, особенно в случаях когда спектр сигнала не ограничен по частоте и наивысшую частоту F_m приходится выбирать из энергетических или информационных соображений, оставляя неучтенными “хвосты” спектра сигнала.

При увеличении расстояния между выборками ( ) спектр базисной функции становится уже спектра сигнала, коэффициенты C_n будут являться выборками другой функции s₁(t), спектр которой ограничен частотой .

Если длительность сигнала T_c конечна, то полоса его частот равна строго бесконечности, т.к. условия конечных длительности и полосы несовместимы. Однако практически всегда можно выбрать наивысшую частоту так, чтобы “хвосты” содержали либо малую долю энергии, либо слабо влияли на форму аналогового сигнала. При таком допущении число отсчетов N на времени Т_с будет равно Т_с/Т, т.е. N=2F_mT_c. Ряд (1) в этом случае имеет пределы 0, N.

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала. С увеличением базы точность восстановления аналогового сигнала из дискретного увеличивается