Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции ТЭС.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
09.08.2019
Размер:
2.46 Mб
Скачать

Комплексный ряд Фурье и спектр сигнала

 

Базисные функции:

, , ;

т.к. , а функции и ортогональны, то и ортогональны.

Квадрат нормы:

Коэффициенты ряда:

,

так как , то

.

Каждая действительная гармоническая составляющая определяется как

.

В комплексном спектре (рис.3.) присутствуют как положительные частоты, так и отрицательные, так как только совокупность составляющих с положительными и отрицательными частотами может дать действительный сигнал.

Рис. 3

Амплитудно-частотный спектр комплексного ряда Фурье является четной функцией, а фазочастотный спектр – нечетной функцией частоты, так как у комплексно-сопряженных чисел модули одинаковы (C-n=Cn), а фазы отличаются знаком .

Распределение мощности в спектре периодического сигнала

Периодические сигналы определяются средней за период мощностью сигнала:

.

Если сигнал представлен рядом Фурье, то его энергия определяется как сумма средних мощностей каждой гармоники:

Аналогично получаем для комплексного ряда: .

Равенства и называются равенствами Парсеваля. Синтезированные с помощью ограниченного ряда Фурье сигналы всегда имеют мощность меньшую, чем мощность самого сигнала.

Огибающая спектра периодического сигнала

Линии, соединяющие вершины составляющих АЧС и ФЧС, называются огибающими АЧС и ФЧС. Это непрерывные линии, определяемые не только на частотах гармоник сигнала, но и на любых других (см. рис. 4)

Рис. 4

Выражения для огибающих АЧС и ФЧС получаются из соотношений для комплексных коэффициентов ряда заменой частот на текущую частоту . Так огибающая АЧС тригонометрического ряда определяется из выражений:

;

Огибающая комплексного ряда: , где - огибающая АЧС, а - огибающая ФЧС.

При большом числе составляющих ряда часто бывает удобно для построения спектра сигнала определить и построить огибающие АЧС и ФЧС, а затем отметить отрезки амплитуд и фаз соответствующих составляющих на частотах .

Пример: периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Пример: периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой Е, длительностью и периодом Т (рис.5). Отношение называется скважностью последовательности. Такой сигнал не удовлетворяет условиям для функций, к которым применимо разложение в обобщенный ряд Фурье. Однако существующие реальные сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам, удовлетворяют этим условиям. Поэтому для простоты можно заменить реальные почти прямоугольные импульсы идеализированными прямоугольными, хотя ряд Фурье для них плохо сходится в углах.

Итак, пусть , причем в течение периода сигнал можно описать выражением:

при

Рис. 5

Для упрощения вывода формулы для коэффициентов ряда Фурье, выберем такой интервал интегрирования, на котором сигнал, отличный от нуля расположен симметрично. Обозначим через t0 время, соответствующее середине импульса на одном из периодов (лучше ближайшем к началу отсчета). Тогда и на периоде имеем

.

Тогда коэффициенты тригонометрического ряда Фурье определятся следующим образом:

;

Проведя преобразования, получим:

;

.

Аналогичные результаты гораздо проще получить с помощью коэффициентов для комплексного ряда Фурье. Действительно,

т.к. An=2Cn, то .

Соотношения для An легко привести к виду, удобному для построения АЧС, помножив и разделив его на , получим:

.

Учитывая, что , можно получить и следующее выражение:

.

Так для q=2 («меандр») получаем следующие значения для амплитуд и фаз составляющих спектра:

и т.д.

(добавление величины обусловлено переходом синуса через нуль).

Таким образом, спектр меандра имеет вид рис. 6:

Рис. 6

Часто изменение знака синуса отражают на амплитудно-частотном спектре, показывая как бы отрицательное значение амплитуды. Тогда АЧС и ФЧС выглядят следующим образом (рис. 7):

Рис. 7

Если сигнал задан так, что t0=0, то все , и можно ограничиться только графиком АЧС с «отрицательными» амплитудами.

При увеличении скважности за счет, например, увеличения периода при неизменном , амплитуды составляющих уменьшаются, расстояние между ними также уменьшается.

При произвольных значениях q и t0 удобнее воспользоваться построением огибающих АЧХ и ФЧХ. Заменим на текущее значение частоты . Получим

Построим график . Из соотношения для An видим, что огибающая меняет знак и, следовательно, проходит через нуль в точках, где , откуда определяем частоты прохождения огибающей АЧХ через нуль:

, где к=1, 2, 3, …

Частота, соответствующая k=1, называется первым нулем спектра. Если , то частота первого нуля равна , а если , то . Следующие нули огибающей спектра кратны этой величине. На частоте огибающая имеет максимум равный

,

откуда постоянная составляющая

.

Следующий максимум будет на частоте .

Величина огибающей на этой частоте равна

;

то есть второй максимум примерно в 5 раз ниже максимума на нулевой частоте. Следующие максимумы уменьшаются пропорционально частоте.

Огибающая ФЧХ линейна и зависит от величины запаздывания или опережения середины импульса относительно t=0, т.е. .

Таким образом, графики огибающих можно нарисовать так, как пунктиром показано на рис.8.

Рис. 8

Для построения самого спектра (АЧС и ФЧС) достаточно на частотах, кратных , провести отрезки до пересечения с огибающей. Для меандра (q=2) в каждом лепестке огибающей (между нулями) будет лишь по одной ненулевой составляющей на частотах: и т.д. Постоянная составляющая . Все четные гармоники имеют в этом случае нулевые амплитуды. Можно амплитудный спектр построить без учета знака синуса во втором, четвертом и т.д. лепестках, в этом случае на этих частотах к следует добавить .

Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t1 ,t2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t1 ,t2) (см. рис.1).

Рис. 1

Обозначим периодический сигнал, полученный из s(t), в виде sT(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении sT(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами =n2 /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю ( к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным.

При предельном переходе в случае Т , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

т.е.

(*)

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

(**)

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S() определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту . Его размерность - [сигнал/частота].

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]