Частотная передаточная характеристика цепи

Для реальной системы некоторые ее системные характеристики могут быть определены экспериментально. Для определения частотной передаточной характеристики на вход следует подавать гармонические колебания

,

и измерять амплитуду и фазу гармонического сигнала на выходе

.

При изменении частоты входного сигнала на выходе линейной цепи могут изменяться амплитуда и фаза. Частотной передаточной характеристикой цепи называется комплексная функция

Модуль этой функции K( ) называется амплитудно-частотной характеристикой цепи, а разность фаз  _вых -  _вх = _к - фазо-частотной характеристикой цепи.

Распространяя это определение и на область отрицательных частот, получают более обобщенную передаточную характеристику, которую обозначим через или , причем H( )=K( ), _н( >0)=_k, _н( <0)=- _k.

Теоретически можно получить выражение для частотной передаточной характеристики, используя установившееся решение дифференциального уравнения, связывающего напряжения (или токи) на входе и выходе линейной системы. В общем виде это уравнение можно свести к одному дифференциальному уравнению вида

При воздействии вида , где , на выходе получаем установившийся сигнал , где . Для установившегося режима получаем следующее алгебраическое уравнение

,                  (1)

откуда получаем соотношение для частотной передаточной характеристики:

.                                                   (2)

Аналогичное выражение получается сразу при использовании комплексного метода, при котором входной и выходной сигнал задаются своими комплексными амплитудами, а элементы цепи - своими комплексными сопротивлениями. Этот метод будет использован далее при анализе некоторых цепей.

Переходная и импульсная характеристики цепи

Переходной характеристикой цепи является сигнал на ее выходе при подаче на вход единичной ступеньки вида функции Хевисайда:

Это вид сигнала выбран в качестве простейшего для описания более сложного сигнала.

Действительно, представим сложный сигнал при t>0 в виде набора ступенчатых функций (рис.1) через одинаковые промежутки времени t:

Рис. 1

Таким образом, аналоговый сигнал s(t) можно представить ступенчатой функцией s₁ (t ) вида:

,

где s_k, s_k+1 - значения функциии в моменты времени kt и (k+1)t. Ясно, что наилучшее приближение к s(t) будет иметь место при t 0. В пределе получим сигнал в виде интегральной суммы

Таким образом, зная реакцию цепи на воздействие в виде s(t), можно определить и реакцию цепи на более сложное воздействие. Обозначим переходную характеристику цепи через g(t).

Для определения переходной характеристики цепи следует решить дифференциальное уравнение, в правой части которого должна стоять функция s(t) и ее производные. Ниже мы покажем, как проще определить эту передаточную характеристику цепи.

Импульсной характеристикой h(t) цепи называют сигнал на выходе при подаче на вход сигнала вида  -импульса:

Этот тип сигнала также используется как простой тестовый, т.к. с его помощью также можно описать любой сложный сигнал.

Рис. 2

Представим аналоговый сигнал s(t) в виде суммы импульсов через промежутки t, амплитуды которых равны значениям сигналов в моменты t=kt.

Сравнивая площади под исходным сигналом s(t) и его ступенчатым аналогом, устремляя t к нулю, получаем окончательную интегральную форму

,

Здесь величина s(t )dt (площадь элементарного прямоугольного импульса) имеет смысл постоянного коэффициента при дельта-функции  (t- ).

Зная отклик цепи на  -функцию можно определить реакцию цепи на любое сложное воздействие.

Поскольку первая производная функции s(t) и есть дельта-функция, т.е. , то и импульсная характеристика также будет производной от переходной, т.е. , и, наоборот,

Переходную и импульсную характеристики цепи используют во временном методе анализа.

Операторная передаточная характеристика цепи

Для определения операторной передаточной характеристики цепи в качестве входного воздействия используется сигнал вида e^pt, где p= +j - комплексная частота. Подставляя этот сигнал в дифференциальное уравнение (1), учитывая свойства преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях, получаем выражение для операторной характеристики цепи

(2')

Это же выражение можно получить и не записывая дифференциального уравнения. Для этого используется так называемый операторный метод определения реакции цепи*. Выберем в качестве входного сигнал такой, у которого изображение по Лапласу равно 1. Этому изображению соответствует сигнал вида  -функции. Каждый элемент цепи представим в виде операторного сопротивления. В соответствии с основными линейными соотношениями для активного сопротивления, индуктивности и емкости, их операторные сопротивления соответственно равны:

Далее решается уже алгебраическое уравнение, которое в случае S_ВХ (p)=1 соответствует выражению (2').