Примеры применения операторного метода

Пусть на входе цепи действует сигнал в виде линейно нарастающей функции. Определим реакцию апериодической (рис.1,а) и колебательной (рис.1,б) цепей на такое воздействие.

Рис. 1

Найдем операторные передаточные характеристики цепей. В соответствии с законами Ома и Кирхгофа в операторной форме имеем

Где - постоянная времени цепи.

где - частота собственных колебаний контура с потерями.

Определим изображение входного сигнала, воспользовавшись таблицей соответствия оригиналов и изображений.

Пусть ему соответствует изображение вида

Следовательно, изображение выходного сигнала равно

Для определения оригинала разложим выражение для на простые дроби:

откуда найдем коэффиценты А,В,С. После приведения к общему знаменателю, имеем

Отсюда А+С=0; А +В=0; В=1.

Таким образом,

Следовательно

откуда

Графики входного и выходного напряжения для апериодической цепи показаны на рис.2.

Рис. 2

Изображение для второй цепочки имеет вид

После разложения на элементарные дроби получаем

Этому изображению соответствует оригинал

изображенный на рис.3 для случая

Операторный метод очень удобен для определения переходных и импульсных характеристик цепей, необходимых для анализа переходных процессов в случаях достаточно сложных сигналов. Импульсная характеристика h(t) цепи является просто оригиналом от операторной передаточной характеристики H(p), а для определения переходной характеристики операторную следует домножить на 1/р (операторное изображение единичной ступеньки). Таким образом для цепей рис.1 имеем в соответствии с таблицей соответствия

Метод интеграла наложения для данной задачи является более простым, чем другие

Параметры и характеристики случайных процессов

Наибольшее значение имеют следующие характеристики случайного процесса:

 математическое ожидание

Математическое ожидание – это средняя функция, вокруг которой группируются реализации (см.рис.2).

Рис. 2

Многие параметры случайного процесса получают путем вычисления простейших функций от математического ожидания.

 дисперсия (разброс реализаций случайной величины)

Корень квадратный от дисперсии называют средне-квадратичным отклонением (СКО):

Если сечения случайного процесса описываются одним и тем же законом распределения, то математическое ожидание и дисперсия являются числами (параметрами).

Если , то говорят, что такой процесс имеет нулевое среднее; процесс называется центрированным. Математическое ожидание называют первым моментом случайной величины, дисперсию – вторым моментом. Момент n-ого порядка определяется соотношением

Если для случайного процесса заданы двумерные плотности вероятности, что бывает необходимо при анализе быстроменяющихся процессов, то определяют так называемую ковариационную функцию

которая определяет математическое ожидание произведений случайных функций в моменты и .

При имеем

т.е. при нулевом интервале между и ковариационная функция определяет математическое ожидание от квадрата случайной величины. Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием определяет флуктуации (изменения) сигнала. Для описания флуктуаций определяется автокорреляционная функция процесса

При получаем

т.е. автокорреляционная функция в этом случае равна дисперсии. Часто применяют нормированную корреляционную функцию

где .

Все эти функции: , , - характеризуют связь между значениями случайного процесса, разделенными промежутком времени . Чем медленнее меняется случайная функция, тем больше , в пределах которого эти функции не равны нулю, т.е. наблюдается статистическая связь между ними.