Модель «клюшки» (для опционов типа «Put»)

Х должен быть меньше, чем (цена на нулевой момент времени, т.е. наблюдаемая сегодня цена). (?)

Пример:

S₀ = 10 руб. – сегодня в акции вложено 10 руб. (если цена станет, 9,5 руб. – нет смысла пользоваться опционом => нет компенсации)

X = 8,5 руб.

P_T = 0,5 руб.

Если S_T =

Каждая 1 копейка потери по основному активу компенсируется 1 копейкой по опциону.

Если цена в пределах [8; 8,5] – придется использовать опцион, чтобы компенсировать убытки при покупке опциона.

Хеджирование происходит для

Или для – с точки зрения прибыли

Т.е. потеря и доход (соответственно) равны по абсолютной величине.

Put компенсирует прямую потерю, а call – упущенную выгоду.

Модель «клюшки» (для опционов типа «Call»)

S₀ = 10 руб.

X = 11,5 руб.

C_T = 0,5 руб.

S_T =

С_Т и Р_Т – цены равновесия между мнениями инвесторов. Причем портфельные инвесторы не имеют полного доступа к информации о деятельности компании (к бизнес-планам, информации о сделках и т.д.).

Нужно понять, кода имеет смысл покупать опцион. Для этого нужно оценить его справедливую стоимость (Fair Value).

Дальше те слайды, которые он прокрутил.

Модели оценки фондовых опционов

• Биноминальная однопериодная модель

(модель Кокса-Росса-Рубинштейна)

• Непрерывные (для нескольких периодов) модели

• биноминальная («дерево сценариев»)

• небиноминальная модель (модель Блэка-Шоулса, Black-Scholes)

Допущения:

• для биноминальных моделей: наличие только двух (повышательного и понижательного) равновероятных (но сумма их вероятностей меньше единицы) сценариев изменения стоимости основного актива

• для небиноминальной модели: допускается нормальное распределение вероятностей всех сценариев

Биноминальная модель учитывает два сценария: повышательный и понижательный (на опр. процент)

Однопериодная: период можно выбирать (за период принимается Т).

Постановка задачи для однопериодной модели оценки фондовых опционов

Цель оценки: рассчитать «внутреннюю» (предельно допустимую для инвестора) цену опциона, при которой прибыль от самого опциона равна нулю

где: S₀ - цена акции (основного актива) на данный момент

d – среднее понижение цены акции в те единичные прошлые периоды, когда наблюдалось снижение цены (понижательный коэффициент)

u – среднее повышение цены в те единичные прошлые периоды, когда цена акции повышалась (повышательный коэффициент)

Определяется по прошлой статистике цен на базовый актив; берем месяцы, где цена повышалась, и считаем, на сколько в среднем она повышалась, взвешивая на частоту; то же – для понижения.

, где

- число месяцев, когда повышалась цена;

n – сколько всего месяцев.

Определение стоимости опциона (call) по модели Росса-Кокса-Рубинштейна

C ₁ = ?

Е сли h – число хеджирования, B – бюджет портфеля, то для T=1:

То есть:

О тсюда:

Д ля Т=0:

Комментарии:

- справедливая стоимость опциона для обоих сценариев.

- наблюдаемая сегодня цена.

- валовый доход;

- прибыль;

(цена не может быть отрицательной или нулевой)

Нужно, чтобы прибыль была больше или равна 0.

То же самое для сценария d.

может быть больше нуля, если d близко к 1 или эмитент занизил Х (или и то, и другое).

h – сколько единиц базового актива (сколько акций, например) есть в портфеле.

R – процентная ставка по рискам (если не учитывать риски, то это безрисковая ставка)

- ожидаемая цена одной акции;

- долг, который надо отдавать, так как весь бюджет заемный.

После продажи акций и отдачи долга остается столько, чтобы можно было купить еще акцию. (Ничего не зарабатываем с чужих денег, но и ничего не тратим из своих)

Финансовый рычаг = 0

[У Ани: после повышения цены акций и погашения долга должно что-то остаться (т.е. С1u) (при том, что рычаг = 0, то есть нет спекуляций)]

Взяли кредит (В*), купили h акций. Через некоторое время цена изменилась. Можно на этом выиграть. Предположим, что в ту же торговую сессию выиграть можно (?), но кредитор требует в тот же день вернуть В*.

Используемые в модели Росса-Кокса-Рубинштейна допущения

• К имеющемуся инвестиционному портфелю добавляют опцион только на одну акцию (в рассмотренном случае – на покупку только одной дополнительной акции)

• При этом эффект хеджирования будут иметь место только по средствам, вложенным в h* акций

• Внутренняя цена C₁ останется справедливой, если отношение профинансированной за счет заемных средств части B* общего бюджета B и числа h* для любого по размеру бюджета B тоже останется прежним

• Для совершенного (по Фама) рынка капитала: B = B*, а R–стоимость и собственного капитала

Непрерывная биноминальная модель оценки опционов

В каждом третьем периоде возвращаемся на траекторию .

Классическая биноминальная модель – «дерево путей» (Paths Tree).

Д опущения:

д ля любого t:

Если не делать этих допущений, то это просто непрерывная модель (если u и d – из статистики)

(П – это потенцирование).

То же для d.

И это подставляется в однопериодную модель.

Предполагаемое изменение цены акции в биноминальной непрерывной модели ценообразования на опционы по этой акции

Допущения в модели Блэка-Шоулза:

1. распределение вероятностей разных сценариев нормальное. Следовательно, нормальным должно быть распределение частот разной цены актива в прошлом. Без этой проверки модель применять нельзя.

2. (там ! над =, т.е. приравнивание)

- доходность, деление на – это дисконтирование.

3. Для любых t: (что ненамного, но противоречит допущению 1)

по определению:

(там сигма, а не дельта)

(Суть допущения в том, что за dt принимается верхняя формула (1|ut), а не эта, т.к. для небольших d и сигма и u разница между этими формулами очень мала, а если сигма – большое, то допущение нереалистично. Сигма должна быть не больше 3х. Иначе лучше не применять непрерывную биноминальную модель)

При нормальном распределении, математическое ожидание = мода (см. график №1)

Равенство (где =!) доказывается разложением в ряд Тейлора. Можно приравнивать, если R и t небольшие. Можно пренебречь первым, вторым и т.д. членами ряда Тейлора.

Биноминальная непрерывная модель оценки фондовых опционов

Формула Блэка-Сколза для оценки опционов на приобретение акций

С_Т - внутренняя цена на опцион на приобретение акций,

S_o - сегодняшняя цена акций,

d_y - стандартное отклонение текущей доходности y рассматриваемых акций,

T - срок, определенный условиям опциона, в течение или по истечению которого владелец имеет право приобрести акции по заранее определенной цене X,

X - цена исполнения опциона,

N(x) - аккумулятивная функция нормального распределения вероятностей численных значений любого аргумента x.

R - безрисковая [процентная] ставка, обычно представляющая собой средневзвешенную (по разным выпускам) доходность к погашению долгосрочных государственных облигаций.

Эта формула – для опционов европейского типа.

Если аргумент функции меньше -3, функция принимается за 0. Если больше +3, то за единицу.

График №1

График №2

График №3 – аккумулятивная функция нормального распределения

Вероятность всех , соответствующих левой половине графика №1 = 0,5

Для любого аргумента ( , d, q…) решающий параметр… ?

Модель Блека-Шоулза занижает FV (справедливую стоимость) call-ов при нарушении допущений (и завышает – put-ов).

Справедливая цена put-а:

Теория реальных опционов¹

• Реальный опцион – любая деловая схема, которая по своим финансовым параметрам:

- обеспечивает эффект хеджирования и

- аналогична фондовому опциону

Теория появилась в 1980х годах.

Классификация реальных опционов (РО):

1. РО по выходу из проекта

2. РО по временной остановке (консервации) проекта (без потери его конкурентных преимуществ)

3. РО по переключению между проектами

4. РО по развитию проекта

По принципу call: сколько придется потратить на переход на резервную схему

Реальные опционы по выходу из проекта

• с третьей стороной заключается опционное соглашение, согласно которому она в течение определенного срока (аналог параметра Т) обязуется при необходимости приобрести специальные активы по определенной цене (аналог параметра Х);

• аналогом параметра Р_Т служит текущий эквивалент (Present Value) встречных льгот или стоимости встречных поставок – либо паушальный платеж партнеру по опционному соглашению

• в инновационных проектах аналогом параметра σ_у служит стандартное отклонение доходности (цены) акций компаний той же отрасли с активной инновационной политикой

В инвестиционном проекте ( особенно инновационном) капитал сразу связывается в специфических активах, например:

• результаты НИОКР

• специальное технологическое оборудование и оснастка (приспособления, приборы, инструменты, контрольно-измерительные материалы)

• обученный персонал

• права ИС

Типичный вариант остановки проекта – если спрос оказался ниже, чем планировалось.

Партнер может решить, например, что переделает оборудование.

У компаний с активной инновационной политикой:

Рт – предельно допустимые затраты, на которые можно пойти для закрепления за собой возможности.

При реальном опционе изменяется NPV.