Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект по матлогике

.pdf
Скачиваний:
63
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
768.13 Кб
Скачать

Оглавление

1.

Вычисление валентности логических связок. Двузначная и многозначная логика Поста. .......................

2

2.

Понятие пропозициональной формулы и кванторная пропозициональной формулы ...............................

2

3.

Теорема о представлении булевой функции через 3 логических связки.............................................................

3

4.

Теорема о представлении булевой функции через 2 логические связки.............................................................

3

5.

Теорема о представлении булевой функции через одну логическую связку.....................................................

4

6.

Область действия вхождения кванторов................................................................................................................................

4

7.

Свободные и связанные вхождения переменных..............................................................................................................

5

8.

Вывод секвенций и её логическая и числовая интерпретация..................................................................................

5

9.

Терм в сигнатуре. Свобода для подстановки терма вместо всех вхождений переменных.........................

8

10.

Атомарная формула. Бескванторная атомарная формула. Предикатная формула.........................................

8

11.

Семантическая обоснованность исчисления предикатов. Полнота пропозиционального

 

 

секвенциального исчисления .......................................................................................................................................................

9

12.

Аксиомы равенства и согласованности с ними...................................................................................................................

9

13.

Аксиомы элементарной теории чисел ..................................................................................................................................

10

14.

Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики..........................................................................................................

10

15.

Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики (формулировка) ....................................................................

10

16.

Машина Тьюринга. Недетерминированная машина Тьюринга. Определение времени и памяти

 

 

машины Тьюринга............................................................................................................................................................................

11

17.

Полиномиальная m-сводимость...............................................................................................................................................

12

18.

NP-полная задача. Примеры........................................................................................................................................................

12

19.

NP-полнота задачи 3-ВЫП............................................................................................................................................................

12

20.

NP-полнота задачи проверки системы полиномов Жегалкина ..............................................................................

13

21.

Полиномиально быстрые сравнения с нулём полинома Жегалкина ..................................................................

13

22.

Определение элементарных по Кальмару алгоритмов ...............................................................................................

13

23.

Определение примитивно-рекурсивных программ ......................................................................................................

13

24.

Определение паскалевидной функции. Примеры ..........................................................................................................

14

25.

Нормальный алгоритм Маркова...............................................................................................................................................

14

26.

Нормальный алгоритм Маркова с правилами Поста ....................................................................................................

15

27.

Простейшие теоремы о невозможности алгоритмов ...................................................................................................

15

28.

Алгоритмическая неразрешимость простейших массовых задач .........................................................................

15

29.

Определение алгоритмически неразрешимой проблемы .........................................................................................

16

30.

Проблема применимости..............................................................................................................................................................

16

31.

Непродолжимость универсального алгоритма до всюдуприменимого.............................................................

17

32.

Алгоритмическая неразрешимость равенства слов в полугруппе........................................................................

17

33.

Теорема Райса об инвариантных свойствах алгоритма ..............................................................................................

18

34.

Обобщенная теорема Райса (формулировка) ...................................................................................................................

18

35.

Определение конструктивных чисел и операций над ними................................................................................

18

36.

Правила сведения утверждений о корректности программ.....................................................................................

19

 

1

 

37.

Аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля ..............................................................................................................

20

38.

Арифметика целых и рациональных чисел........................................................................................................................

20

39.

Смешанная и конечнозначная логика...................................................................................................................................

20

40.

Консервативность арифметики с большими числами.................................................................................................

21

41.

Проверка совместимости системы линейных неравенств ........................................................................................

21

42.

Неразрешимость секвенциального исчисления предикатов...................................................................................

21

43.

Неполнота любого исчисления для доказательства применимости универсального алгоритма ......

21

1.

Вычисление валентности логических связок. Двузначная и многозначная

 

логика Поста.

 

Логическая связка – операция над высказываниями или символ, обозначающий её Валентность – истинное значение или ложное

Валентность логических связок

 

 

 

¬

 

 

&

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

И

 

Л

 

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

 

Л

 

Л

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

 

И

 

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

Л

 

И

 

Л

Л

И

И

И

И

Л

| ¬( & ) ¬ ¬ – символ Шеффера

↓ ¬( ) ¬ & ¬ – стрелка Пирса

(¬ )

( ) & ( )

¬( )

Двузначная логика Поста

1

– истина (1 (2))

0

– истина (0 (2))

0

– ложь (0 (2))

1

– ложь (1 (2))

Тогда логические операции выражаются полиномами:

 

 

¬ = 1 −

¬ = 1 −

& =

& = 1 − (1 − ) (1 − )

= 1 − (1 − ) (1 − )

=

Многозначная логика

{1, … , } -значная логика N – абсолютная истина

1 – абсолютная ложь

¬ = − + 1

& = min( , )

= max( , )

2.Понятие пропозициональной формулы и кванторная

пропозициональной формулы

Пропозициональная переменная – идентификатор (является именем утверждения), принимающий значение «И» или «Л» Бинарная логическая связка: &, , , , |, ↓

Сигнатура – набор операций, принятых в данной системе аксиом (< 1, … , >)

Пропозициональная формула:

1)Логическая константа («И», «Л»)

2)Пропозициональная переменная

2

3)¬ , где – пропозициональная формула

4)( )1, где , – пропозициональные формулы, – бинарная логическая связка

Кванторная пропозициональная формула (QBF):

1)Логическая константа («И», «Л»)

2)Пропозициональная переменная

3)¬ , где – пропозициональная формула

4)( ), где , – кванторные пропозициональные формулы, – бинарная логическая связка

5), , где – кванторная пропозициональная формула, – пропозициональная переменная, « » и « »– кванторы (других кванторов быть не может)

Постоянная пропозициональная формула – пропозициональная формула, не содержащая пропозициональных переменных

Параметрической пропозициональная формула – пропозициональная формула, содержащая пропозициональных переменных

3. Теорема о представлении булевой функции через 3 логических связки

Булевая функция – функция, определенная на наборе из n логических констант и принимающая в качестве значения логическую константу

Любая пропозициональная формула определяет булеву функцию:– пропозициональная формула1, … , – различные пропозициональные переменные

1, … , – булева функция « » (λ-исчисление)

( 1, … , ) = [ ] 11,…,,…, ( – n-местная подстановка)

Теорема Любую булеву функцию можно выразить через 3 логических связки: < ¬, &, >

В семантической таблице функции ( 1, … , ) ищем все строки, в которых результат функции «И» и для каждой из них выписываем формулу вида ( 1 1)& … &( ) , где 1, … , – последовательность логических констант в рассматриваемой строке. Затем объединяем эти формулы ( ) многократными дизъюнкциями 1 … . В итоге 1 … ( 1, … , )

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

( 1

И)&( 2

Л) ( 12) – строка #2

#

1

2

( 1, 2)

1

2

1

И

И

Л

Л

Л

2

( 1

Л)&( 2

И) (¬ 1& 2) – строка #3

2

И

Л

И

И

Л

Строки #1 и #4 дают результат «Л», потому не рассматриваются

3

Л

И

И

Л

И

( 1, 2) 1 2 ( 12) (¬ 1& 2)

4

Л

Л

Л

Л

Л

 

 

 

 

4. Теорема о представлении булевой функции через 2 логические связки

Законы де Моргана: ¬( & ) ¬ ¬ и ¬( ) ¬ & ¬

Теорема Любую булеву функцию можно выразить через 2 логических связки: < ¬, > или < ¬, & >

 

 

( )

¬(¬ &¬ )

( & )

¬(¬ ¬ )

И

И

И

И

И

И

1 Это минимальное количество скобок для сохранения однозначности. Дополнительные скобки будут лишними, а в случае, если отпустить эти, то из-за приоритета логических связок выражение потеряет первоначальный смысл. Например, конъюнкция выражений и будет & и не совпадает с ( )&( )

3

Достаточно проверить равнозначность формул

И

Л

И

И

Л

Л

(если они равнозначны, то данная теорема

Л

И

И

И

Л

Л

является следствием теоремы о выразимости

Л

Л

Л

Л

Л

Л

через 3 логических связки):

 

 

 

 

 

 

( ) ¬(¬ &¬ )

 

 

 

 

 

 

( & ) ¬(¬ ¬ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Через 2 логические связки < , & > не может быть выражена любая булевая функция

Если в формуле ( ) и принимают значение «И», то и значение формулы ( ) при { , &} будет «И» из двух «И» невозможно получить «Л»

5. Теорема о представлении булевой функции через одну логическую связку

Теорема Любую булевую функцию можно выразить через одну логическую связку (| или ↓)

 

¬ = |

¬ = ↓

& = (( | )|( | ))

& = ¬(¬ ↓ ¬ )

= ¬(¬ &¬ )

= ¬( ↓ )

Теорема Нет никаких логических связок, кроме | и ↓, через которые можно выразить булевую функцию.

Рассмотрим всевозможные случаи

 

 

 

|

 

 

 

¬

¬

 

 

 

 

 

 

 

 

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

Через ¬ нельзя выразить все остальные.

Заметим, что в верхней строке не может быть «И», иначе не сможем выразить «Л». Аналогично в нижней строке не может быть «Л».

6. Область действия вхождения кванторов

Кванторный комплекс – строка вида: < квантор >< пропозициональная переменная >

Область действия вхождения квантора – формула, стоящая непосредственно вслед за кванторным комплексом, в который он входит

Подформула – часть формулы, стоящая в скобках

Область действия вхождения квантора – минимальная подформула формулы , которая начинается с данного вхождения квантора

Замечание При определении области действия предполагаем, что все скобки расставлены

Приоритет кванторов максимальный

Пример

( ( , , ) ( ( , ) ( , ))) ( , )

4

7. Свободные и связанные вхождения переменных

Предметная переменная – переменная для объектов

Вхождение предметной переменной в формулу называется связанным, если оно находится либо в кванторном комплексе, либо в области действия квантора по этой переменной

Вхождение предметной переменной в формулу называется свободным, если оно не связано

Пример

( ( , , ) ( )) ( , )

находится в области действия квантора переменной , но несвободное вхождение

не в области действия кванторасвободное вхождение

Формула называется чистой, если ни одна переменная в ней не имеет одновременно и связанных, и свободных вхождений

Постоянной формулой предикатного исчисления называется формула, в которой нет свободных вхождений предметных переменных и нет вхождений пропозициональных переменных

Переменная свободна для подстановки в формулу вместо свободных вхождений переменной , если никакое свободное вхождение не находится в области действия вхождения квантора по

8. Вывод секвенций и её логическая и числовая интерпретация

Секвенция – выражение вида Γ → Δ, где Γ и – конечные списки формул (могут быть пустыми)

Γ– антецедент

сукцедент

Логическая интерпретация секвенций: при допущении списка формул Γ имеет место одна из возможностей списка формул ( (&Γ) ( ) )

Формульный образ секвенции:

Φ( 1 … → 1 … ) 1& … & 1 … = ¬ 1 … ¬ 1

Если список пустой, то пишем «Л»

Чтобы задать исчисление, нужно:

1)Алфавит ( = { 1, … , })

2)Множество формул – множество слов в алфавите , для которой имеется эффективная процедура проверки на формулу

3)Множество аксиом – подмножество множества формул

4)Правила вывода – конечное множество отношений над формулами, для каждого из которых все аргументы, кроме последнего, называются посылками правила, а последний аргумент – заключением правила

Алфавит в секвенциальном исчислении: пропозициональные переменные, И, Л, ¬, &, ,, , , |, ↓, →

Множество формул секвенциального исчислении – секвенции, состоящие из пропозициональных формул

Аксиомы в секвенциальном исчислении:

1)

Γ1 Л Γ2

 

2)

Γ → 1 И

2

3)

Γ1 Γ2

1 2

Правила вывода в секвенциальном исчислении:

5

В сукцедент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В антецедент

 

 

 

 

(→ ¬)

 

 

Γ1 Γ2→Δ1 2

 

 

 

 

(¬ →)

 

Γ1 Γ2→Δ1 2

 

Γ Γ →Δ ¬

2

 

 

 

 

 

Γ ¬ Γ →Δ

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

Γ→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

(& →)

 

Γ1 Γ2→Δ

 

 

(→ &)

 

 

Γ→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 & Γ2→Δ

 

 

Γ→Δ &

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ→Δ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ

 

 

 

 

(→ )

 

2

 

 

 

 

 

 

 

( →)

 

 

Γ1 Γ2→Δ

 

 

 

 

Γ→Δ

2

 

 

 

 

 

 

 

Γ Γ →Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

(→ )

 

 

Γ1 Γ2→Δ1 2

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1 2

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

 

2

 

 

 

( →)

 

Γ1 Γ2→Δ1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ Γ →Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

 

2

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1 2

(→ )

Γ1 Γ2→Δ1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( →) Γ

Γ →Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

2

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

 

(→ )

Γ1 Γ2→Δ1

2

 

 

 

2

Γ1 Γ2→Δ1

2

 

 

 

Γ1 Γ2→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( →) Γ

1

Γ →Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Правило вывода называется допустимым, если по всякому выводу, содержащему применение этого правила, можно построить вывод с такой же последней секвенцией, не содержащей применение этого правила

В секвенциальном исчислении высказываний допустимыми являются: 1) Обратные правила

(→ ¬̅)

Γ1 Γ2→Δ1 ¬ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

Γ →Δ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(¬̅→)

Γ1 ¬ Γ2→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

Γ →Δ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̅̅̅̅

 

 

Γ→Δ1 &

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(→ &1)

 

Γ→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̅̅̅̅

 

 

Γ→Δ1 &

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(→ &2)

 

Γ→Δ1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̅

Γ1 & Γ2→Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(& →)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

Γ →Δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

̅

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что (& →) допустимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеется применение правил к : Γ & Γ →

 

и : Γ Γ →

, где <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1

2

 

 

 

Рассмотрим случаи по какому правилу была получена секвенция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индукция по месту применения правила

 

 

 

 

 

 

 

 

База: правило применимо к аксиоме (то есть

– аксиома)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

содержит & , то есть : Γ & Γ

1

&

2

может быть получена по (→ &)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

из {Γ1 Γ2 1 2 (Γ Γ →

1

&

2

= )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 Γ2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) (Γ Γ ) и

 

 

содержат формулу & – аксиома Γ Γ →

1

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

Переход: предположим правило (&̅ →) допустимо на не более чем − 1-ом применении правила. Докажем, что тогда оно допустимо и на -ом тоже

a)Если по (& →), то убираем из вывода , , так как получено из = где <

b)Если по другому правилу, то в посылках этой секвенции (и всех предыдущих) вместо & пишем и эти секвенции получаем по (&̅ →)

sl

sl′′

̅

̅

(& →)

(& →)

 

 

slsl′′

si

sj

2) Правила сокращения повторений

6

Γ1 Γ2 Γ3→Δ

Γ→Δ1 2 3

Γ1 Γ2Γ3→Δ

 

Γ→Δ1 2 3

3) Правила перестановки

Γ1 Γ2 Γ3→Δ

 

Γ→Δ1

2

3

Γ1 Γ2 Γ3→Δ

 

Γ→Δ1

2

3

4) Правила добавления

Γ1Γ2→Δ

 

Γ→Δ1

2

Γ1 Γ2→Δ

Γ→Δ1

2

5) Правило сечения

Γ1Γ2→Δ1 2 Γ1 Γ2→Δ1 2

Γ1Γ2→Δ1 2

Все правила, допустимые в секвенциальном исчислении высказываний, кроме правил сокращения повторений, допустимы и в секвенциальном исчислении предикатов Для правил сечения все секвенции должны быть чистыми

Вывод – последовательность секвенции, каждая из которых либо аксиома, либо получается из предыдущих по одному из правил вывода Секвенция выводима, если она является последней секвенцией некоторого вывода

Вывод секвенции S – вывод с последней секвенцией, совпадающей с S Формула выводима, если выводима секвенция « → » Тавтология – формула, всегда являющаяся «И» Противоречие – формула, всегда являющаяся «Л»

Пропозициональная формула выполнима, если она когда-то истинна

Исчисление полно, если любая истинная формула выводима Исчисление непротиворечиво, если не существует формулы, которая выводима и её отрицание выводимо

Теорема Формульный образ аксиомы является тавтологией

Φ(Γ1 Л Γ2

) = (… ¬Л … ) = И

Φ(Γ → 1 И

2) = (… И … ) = И

Φ(Γ1 Γ2

1 2) = (… ¬ … ) = И

Теорема Если формульный образ секвенции, не содержащей логических связок, является тавтологией, то это

секвенция – аксиома

Рассмотрим 1 … → 1 … – секвенция, не содержащая логических связок, формульный образ которой – тавтология Предположим, что это не аксиома , ≠ (не равны графически), но ¬ 1 … ¬ 1 …= И – тавтология

Предположим, что { 1, … , И Φ(… ) = Л?! все различными быть не могут аксиома

1, … , Л

Теорема Для любого правила вывода формульный образ заключения равносилен конъюнкции формульных

образов посылок

 

 

Γ1

Γ2→Δ1

2

 

 

Докажем для ( →) Γ1

Γ2→Δ1

2

 

 

 

 

Γ

Γ →Δ

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

Φ(Γ1

Γ2 1

2) = ¬Γ1 ¬Γ2

1 2

=

Φ(Γ1

Γ2 1

2) = ¬Γ1

¬ ¬Γ2 1

2 = ¬

Φ(Γ1

Γ2

) = ¬Γ1

¬(¬ ) ¬Γ2

1 2 = &¬

( )&( ¬ ) = &¬

Теорема

7

Секвенция выводима в секвенциальном исчислении высказываний её формульный образ – тавтология Теорема

Секвенциальное исчисление высказываний полно и непротиворечиво

Числовая интерпретация:

 

И = 0( 2)

 

Л = 1( 2)

 

[ ] – интерпретация формулы

 

[¬ ] = 1 − [ ]

[ ] = [ ] + [ ]( 2)

[ & ] = 1 − (1 − [ ])(1 − [ ])

[ ] = ∏ [ ]

[ ] = [ ] [ ]

[ ] = 1 − ∏ (1 − [ ])

[ ] = (1 − [ ])[ ]

[Γ → ] = ∏,(1 − [Γi])[Δj]

9. Терм в сигнатуре. Свобода для подстановки терма вместо всех вхождений переменных

Предметная переменная – переменная, принимающая в качестве своего значения имена объектов

Терм в сигнатуре < 1, … , >:

1)Имя предметной константы

2)Предметная переменная

3)( 1, … , ), где 1, … , – термы, – имя n-местной функции

Различные формы записи функции:

Префиксная (cos( ))

Инфиксная ( + )

Постфиксная ( !)

Позиционная (юнкция)

Терм свободен для подстановки в формулу вместо свободных вхождений предметной переменной , если он не содержит предметных переменных, в области действия квантора по которым имеются свободные вхождения

Следствия из определения:

1)свободен для подстановки вместо в

2)Если не входит свободно в , то терм свободен для подстановки в вместо

3)Если терм не содержит переменных, имеющих связанные вождения в , то свободен для подстановки в вместо переменной

10.Атомарная формула. Бескванторная атомарная формула. Предикатная формула

Если 1, … , – термы, – имя n-местного предиката ( 1, … , ) – атомарная формула

Бескванторная предикатная формула:

1)Атомарная

2), – предикатные формулы, – бинарная логическая связка ¬ , ( ) – бескванторные предикатные формулы

Кванторная предикатная формула:

1)Бескванторная предикатная формула

2)– предикатная формула, – предметная переменная , – кванторные предикатные формулы

8

Логика первого порядка – формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функции и предикатов

11.Семантическая обоснованность исчисления предикатов. Полнота пропозиционального секвенциального исчисления

Теорема (о семантической обоснованности)

Если секвенция выводима, то её логическая интерпретация равнозначна «И»

Индукция по длине вывода секвенции База: 1 секвенция – аксиома

Φ(Γ1 Л Γ2

) = (… ¬Л … ) = И

Φ(Γ → 1 И

2) = (… И … ) = И

Φ(Γ1 Γ2

1 2) = (… ¬ … ) = И

Переход:

Если посылки равнозначны «И», то, по теореме из «Вопрос 8»2, вывод равнозначен «И» Например для (→ &):

Γ→Δ1

2

 

 

 

Γ→Δ1

2

 

 

 

Γ→Δ1 &

2

 

 

 

¬Γ

1

2 И

¬Γ

1

2 И

Рассмотрим ¬Γ

1 ( & ) 2

Если ¬Γ И или

1 И или 2 И, то вывод равнозначен «И»

Иначе И и И ( & ) И

Теорема (Поста о полноте исчислений высказываний)

Всякая секвенция, равнозначная «И», выводима вычислимыми секвенциями

Индукция по числу вхождений логических связок База: не содержит логических связок только пропозициональные переменные или константы секвенция должна быть аксиомой

Переход: есть логические связки и не аксиома, тогда секвенция получена по правилу вывода из 1 или

из 1 и 2.

В 1 и 2 меньше логических связок(потому что правила вывода в секвенциальном исчислении добавляют логические связки) и они выводимы (по индукционному предположению) их логическая интерпретация равнозначна «И» наша логическая интерпретация равнозначна «И» (по предыдущей теореме)

Теорема (о семантической обоснованности секвенциального исчисления предикатов)

Для любого из кванторных правил, при соблюдении ограничений на использование переменных, формульный образ посылки равнозначен формульному образу заключения

12.Аксиомы равенства и согласованности с ними

Аксиомы равенства:

1)( = ) – рефлексивность

2)( = = ) – симметричность

3)( = & = = ) – транзитивность

Аксиомы согласованности с равенством:

1)( = ( ( , ) = ( , ))), где – функция

2)′ ′( = & = ( ′ ′))

2 О том, что формульный образ заключения равносилен конъюнкции формульных образов посылок. В любом случае доказательство подразумевает под собой проверку корректности всех правил вывода

9

Теория первого порядка – теория с равенством, если в её сигнатуре имеется выделенный двуместный

( = )

предикат «=» и выводимы следующие формулы:{ ( = ( [ ] )) для любой формулы этой

теории При наличии вышеперечисленных аксиом эти условия выполняются

13.Аксиомы элементарной теории чисел

Сигнатура: < 0, , +, ,^, =>– инкремент, следующее число

0, (0), ( (0)), ( ( (0))) , … – натуральные числа

Аксиомы Пеано:

1)(( + 0) = )

2)(( + ( )) = ( + ))

3)(( 0) = 0)

4)(( ( )) = + )

5)(( ^0) = (0))

6)(( ^ ( )) = ( ^ ) )

7)¬( ( ) = 0)

8)( ( ) = ( ) = )

9)(0) & ( ( ) ( ( ))) ( )

14.Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики

Замкнутая формула – формула, не содержащая свободные вхождения переменных

Теорема Если формальная арифметика непротиворечива, то в ней можно указать замкнутую формулу , такую

что невыводима и ¬ невыводима в формальной арифметике

– цепочка знаков " " – её номер в -ичной система счисления при достаточно большом , Гёделева нумерация

"{ }" = для − числа {}: {{" "} = для − строки

Предположим – формула с 1 свободной переменной

Построим формулу с 1 свободной переменной такую, что ¬ (" ") (" ")

и (" ") ¬ (" ")

– формула выводима– – номер вывода

(" ") ( (" ") ( ≤ & ¬ (" "))) где = {" "}

Проверка :

1)¬ (" ") ¬ (" ") так как непротиворечива (" ") = И

2)(" ") ¬ ¬ (" ") (" ") = Л

Теперь (" ") ¬ (" ") не может быть чтобы обе были выводимы обе невыводимы

15.Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики (формулировка)

¬( (0 = 1)) – consis

Теорема

Если consis выводима, то арифметика противоречива

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.