Конспект по матлогике

[¬ ] − [ ] + 1 – для отрицания нужно знать

[ & ] min{[ ], [ ]} [ ] max{[ ], [ ]}

Смешанная логика Поста: {− , … , [0, ] … , } 0 – неопределенность

[¬ ] −[ ] – не нужно знать для отрицания

[ & ] min{[ ], [ ]} [ ] max{[ ], [ ]}

40.Консервативность арифметики с большими числами

Расширим арифметику бесконечно большими числами – получим консервативную арифметику– расширение Рассматриваем константу Ω – бесконечно большое число Добавляем аксиомы:

0 < Ω, 1 < Ω, 2 < Ω, … или ( (… (0) … )) < Ω Ω + Ω = 2Ω (в то время, как ∞ + ∞ = ∞)

Теорема (о консервативности арифметики)

Утверждение, доказуемо в новой арифметике, доказуемо и в старой

□

Рассмотрим последовательность секвенции 1, 2, … , Предположим, что – максимальное число среди секвенции

Заменим во всех секвенциях Ω на + 1: [ 1, 2, … , ]Ω+1 все секвенции будут выводимы, так как + 1 < Ω

■

41.Проверка совместимости системы линейных неравенств

Решение этой системы является NP-полной задачей

42.Неразрешимость секвенциального исчисления предикатов

Теорема Исчисление предикатов алгоритмически неразрешимо

□

Сведем к равенству слов в полугруппе

=

( ( ( ( ( )))) = ( ( ))) – аксиома

Проблема равенства слов в полугруппе алгоритмически неразрешима (Взяли полугруппу, которая неразрешима относительно равенства, добавили , , , , , добавили

«=», добавили ( (… ) = (… )) )

■

43.Неполнота любого исчисления для доказательства применимости универсального алгоритма

Теорема Невозможно полное исчисление, в котором выводимы ! ( ) и ¬! ( )

□

Предположим, что оба выводимы Тогда получим проблему разрешающего алгоритма для применимости

21

■

22