Контрольные вопросы.

1. Что называют свободными или собственными колебаниями?

2. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения при механических гармонических колебаниях.

3. Сформулируйте закон Гука и укажите область его применимости.

4. Что такое жесткость пружины? От чего она зависит?

5. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника и запишите его решение.

6. То же для затухающих колебаний; доказать формулы (18.18) и (18.19). Нарисуйте зависимость x(t) для затухающих колебаний.

7. Как изменятся амплитуда и период затухающих колебаний по сравнению с незатухающими гармоническими колебаниями?

8. Что такое коэффициент затухания? Запишите уравнение, выражающее закон убывания амплитуды затухающих колебаний, нарисуйте зависимость A(t).

9. Дайте определение логарифмического декремента затухания, докажите формулу (18.34).

10. Что такое добротность? Как она связана с уменьшением энергии колебаний? Используя (18.26), докажите (18.25) при условии малости затухания (β << ω₀).

Используемая литература.

[5] §19.1, 19.2, 19.6; [3] §27.1, 27.2, 28.1; [1] §52-54; 58. [6] §3.3; 3.6, 3.7, 3.

Лабораторная работа 1-19 “Изучение колебаний физического маятника”

Цель работы: изучение зависимости периода колебаний от параметров маятников и измерение ускорения свободного падения.

Теоретическое введение

Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Существует общность закономерностей большого разнообразия колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности простейших колебаний – гармонических.

Гармоническим колебательным движением называется такое колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических колебаний материальной точки.

П

A

y

φ

редставим себе материальную точку М, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А с угловой скоростью ω (рис.19.1). Тогда точка М_х – проекция точки М на ось х – будет совершать периодические колебания вдоль оси х. Смещение колеблющейся точки от положения равновесия вдоль оси х определяется по закону:

, (19.1)

г

Рис.19.1

де А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения), – фаза колебаний, которая определяет угловое смещение точки М в любой момент времени, α₀ – начальная фаза, – круговая (циклическая) частота, равная

, (19.2)

где ν – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени, , здесь – число колебаний за время t), – период колебаний (время совершения одного полного колебания). Выражение (19.1) – кинематическое уравнение гармонического колебательного движения.

Скорость колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (19.1) по времени:

. (19.3)

Продифференцировав (19.3), получим ускорение а:

. (19.4)

Учитывая (19.1), будем иметь: , или:

. (19.5)

Выражение (19.5) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его решением является гармоническая функция (19.1). Если вторая производная по времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения!) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.

Л

Рис.19.2

юбое тело (рис. 19.2), подвешенное в поле силы тяжести так, что точка подвеса О не совпадает с центром тяжести С, называется физическим маятником. Пусть отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Его величина М=mgl^.sin, где m – масса маятника; l – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, d=l^.sin – плечо силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения).

Направления вращающего момента и углового перемещения противоположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия), поэтому

M=– mgl^.sin. (19.6)