Используемая литература

[5] §9.4; [3] §10.7, 10.8; [1] §75, 76, 78, 130; [6] §5.6, 5.7; [7] §31, 33, 48.

Лабораторная работа 1-16 “Определение модуля Юнга методом прогиба”

Цель работы: определение модуля Юнга материала путем измерения прогиба стержня при нагрузке.

Теоретическое введение

Прочность, долговечность и надежность металлических изделий (твердых тел), работающих в различных условиях, во многом зависит от характеристик, определяющих упругие свойства материалов.

Твердые тела при этом будем рассматривать как сплошную среду с определенной плотностью . Под воздействием внешних сил твердые тела в той или иной степени деформируются , то есть изменяют свою форму и объем. При всем разнообразии деформаций тел возможно любую деформацию свести к двум основным (элементарным): растяжению (сжатию) и сдвигу. Деформация растяжения характеризуется величиной относительного удлинения :

, (16.1)

где – длина тела до растяжения; – после растяжения; – абсолютное удлинение.

Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры и форма тела, т.е. это обратимая деформация.

Сдвигом называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига характеризуется величиной относительного сдвига. При малых деформациях сдвига относительный сдвиг есть просто измеренный в радианах угол .

При деформации однородного сдвига величина во всех точках тела одна и та же.

Растяжение тела всегда сопровождается соответствующим сокращением его поперечного сечения и, наоборот, сжатие – соответствующим увеличением поперечного сечения. Характеристикой этого изменения поперечных размеров при растяжении и сжатии является относительное поперечное расширение или сжатие:

, (16.2)

где – поперечный размер тела до деформации, а – после деформации..

Ясно, что знак продольной деформации противоположен знаку поперечной . Отношение

(16.3)

называют коэффициентом Пуассона. Он не зависит от размеров тел и для всех тел, сделанных из данного материала, является константой, характеризующей его свойства. Для всех известных в природе тел коэффициент Пуассона имеет значение в пределах от 0 до 0,5.

Деформацию реальных твердых тел представляют в виде диаграммы. При этом удобно растяжение задавать не силой как таковой, а отношением силы к площади сечения:

(16.4)

Величина в механике деформируемых твердых тел называется напряжением и измеряется в Н/м². Диаграмма растяжения схематически представлена на рис.16.1 в виде зависимости . Как видно из рис.16.1, при малых деформациях (напряжение пропорционально деформациям). Это есть известный из школы закон Гука. Точка А соответствует максимальному напряжению, при котором еще сохраняется пропорциональность между и , то есть еще справедлив закон Гука.

, (16.5)

где – модуль упругости (модуль Юнга для данного материала).

Напряжение, соответствующее точке А, называется пределом пропорциональности . Выше т.А удлинение растет быстрее, чем напряжение . В этой области (т.А’) находится предел упругости тела . Точного определения предела упругости тела дать вообще невозможно, так как малые остаточные деформации наблюдаются всегда.

Далее (за т.А’) начинается область текучести материала (пластическая деформация) – наибольшие деформации, которым подвергся материал, почти целиком сохраняются как остаточные, но целость материала еще не нарушается. При еще больших нагрузках наступает разрушение.

Область упругих деформаций обычно очень незначительна (например, для стали пределу упругости соответствует значение порядка 0,001).

В отличие от растяжения и сжатия деформация сдвига вызывается касательными напряжениями

, (16.6)

где – сила, параллельная поверхности твердого тела, которая вызывает сдвиг.

При малых деформациях закон Гука в этом случае имеет вид, аналогичный (16.5):

, (16.7)

где – коэффициент пропорциональности между напряжением сдвига и углом сдвига - называется модулем сдвига.

Итак, упругие свойства деформируемого упругого тела характеризуются двумя основными модулями упругости – модулем Юнга и модулем сдвига . Еще одна упругая константа – коэффициент Пуассона . В изотропных твердых телах (у таких тел свойства одинаковы во всех направлениях) эти три константы , и не являются независимыми, а связаны между собой соотношением

(16.8)

Из (16.8), кстати, следует, что в твердых телах.