Основные понятия комбинаторики.

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.

Правила суммы и произведения.

Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих элементов можно выбрать n+m способами.

Правило произведения – если элемент а может быть выбран способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать m способами, то пару (ab) из этих элементов в указанном порядке можно выбрать nm способами.

Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранные из n данных элементов, называются размещениями из n элементов по k. Размещения могут отличаться как элементами, так и порядком.

Теорема. Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Действительно, первый элемент размещения может быть выбран n способами. Для каждого из этих вариантов есть n-1 способов расположения одного из оставшихся элементов на втором месте. Следовательно, по правилу произведения, имеется n*(n-1) различных способов выбора элементов на первых двух местах. Продолжая это рассуждение по индукции, получаем доказательство.

Пример: Различными размещениями множества из трех элементов {1,2,3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)

В частном случае k=n размещения называются перестановками .

Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов и

Пример: Различными перестановками множества элементов {1,2,3} будут (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2)

Неупорядоченные наборы из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле

Доказательство можно получить, учитывая, что сочетания отличаются от размещений тем, что в них не важен порядок следования заданных k элементов. Поэтому при равных n и k число сочетаний меньше числа размещений в k! раз.

Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого .

Вероятность того, что событие наступит в испытаниях, определяется по формуле Бернулли

.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах цель будет поражена 8 раз. Ответ

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах

Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, производится серия выстрелов при изменяющейся дальности.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений событий в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.

Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , причем вероятность появления этого события в -м опыте равна , а вероятность его не появления соответственно . Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появится ровно раз.

Решение данной задачи проводится с помощью так называемой производящей функции, имеющей вид:

.

Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серии опытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при члене и даст искомую вероятность .

Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно

.

Найти вероятность трех попаданий.

Решение: Составим производящую функцию

Отсюда вероятность трех попаданий равна 0,040. Легко найти и вероятности ни одного, одного, двух и четырех попаданий, выписывая коэффициенты при и .