Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз.

Теорема. Вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

,

где ;

.

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий

.

Или, используя локальную теорему Лапласа,

,

Введем обозначение ,

И запишем в виде .

Очевидно, при величина и последняя сумма стремится к определенному интегралу:

,

что и требовалось доказать.

Введем стандартный интеграл Лапласа (функцию Лапласа):

,

который, очевидно, является первообразной функции Гаусса

.

Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать

.

Значения функций и обычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений , поскольку ­– четная функция, а – нечетная.

Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей событий с использованием функций и плотностей распределения

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных – случайная величина, имеющая следующие возможные значения: 0, 1,… 100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, является случайной величиной, которая зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, температуры, влажности и т.д. Возможные значения этой случайной величины принадлежат некоторому промежутку (a,b).

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ).

Более строгое формально-математическое определение случайной величины: случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетное множество значений).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ( ) называется законом распределения данной случайной величины.

Закон распределения можно задавать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события образуют полную группу, в связи с чем сумма вероятностей этих событий равна единице:

Пример. Пусть всхожесть семян данного растения определяется вероятностью 0,6. Найти закон распределения X – числа появившихся растений из 5 посаженных семян. Решение: случайная величина X может принимать значения 0,1,2,…5. Задача описывается схемой испытаний Бернулли с . Таким образом и мы получим

	0	1	2	3	4	5
	0,01	0,077	0,230	0,345	0,259	0,0778