Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное событие и вероятность являются неопределяемыми понятиями. Приведем аксиомы системы Колмогорова

1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события A;

2. Вероятность достоверного события равна единице

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;

(конечное пространство элементарных событий)

(бесконечное пространство элементарных событий)

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Вероятностное пространство

Будем говорить, что задано вероятностное пространство, если задано пространство элементарных исходов , сигма алгебра и для каждого элементарного события задана его вероятность.

Иначе говоря, Вероятностным пространством называется тройка ( , где - вероятностная мера на .

Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса Полная группа событий.

Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:

• появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;

• события и ( ) попарно несовместны и – событие невозможное при любых , т.е. .

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

Условная вероятность.

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что событие уже наступило, называется условной вероятностью события и обозначается .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , используется условная вероятность относительно произведения событий и : .

Формула умножения вероятностей.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

Формула сложения вероятностей.

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию – соответственно исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно,

,

где – вероятность события ;

– вероятность события .

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство: Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем: . Следовательно, .

Аналогично для события получаем . Откуда .

Следовательно .