- •Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
- •Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности Понятие случайного эксперимента.
- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Лекция 3. Методы определения вероятностей событий
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Вероятностное пространство
- •Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Формула умножения вероятностей.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей событий с использованием функций и плотностей распределения
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •Свойства функции распределения
- •Плотность распределения вероятностей.
- •Лекция 7. Основные параметры распределений одномерных случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •О тклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Лекция 10. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двух случайных величин
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева.
- •Центральная предельная теорема.
- •Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.
- •Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •Полигон и гистограмма
- •Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин Эмпирическая функция распределения
- •Важнейшие свойства статистических оценок
- •Надежность и доверительный интервал.
- •Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Лекция 15. Проверка статистических гипотез.
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
- •Лекция 16. (уир) Понятие о регрессионном анализе
- •Понятие о регрессионном анализе
- •Выборочные уравнения регрессии.
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель.
- •Обратная модель.
- •Степенная модель.
- •Показательная модель.
- •Лекция 17 (уир). Понятие о корреляционном анализе.
- •А. Парная корреляция
- •Б. Множественная корреляция
- •Лекция 18 (уир). Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода.
- •Равенство Маркова
- •Лекция 19 (уир). Цепи Маркова с непрерывным временем.
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Лекция 20 (уир). Системы массового обслуживания.
- •Расчет характеристик систем массового обслуживания Одноканальные модели а. Одноканальная модель с отказами
- •Б. Одноканальная модель с ожиданием
- •Многоканальные модели
Расчет характеристик систем массового обслуживания Одноканальные модели а. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
, (1)
где - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
где - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний являются простейшими.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную СМО в виде графа (Рис. 1), у которого имеется два состояния: - канал свободен и - канал занят (идет обслуживание заявки).
Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.
Пусть и - вероятности того, что канал свободен и занят соответственно. Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова
. (3)
Эта система имеет решение с учетом условия нормировки . Решение называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от времени:
Для одноканальной СМО с отказами вероятность представляет собой относительную пропускную способность системы . Действительно, - вероятность того, что в момент времени канал свободен и заявка, пришедшая к этому моменту, будет обслужена, и следовательно, среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно :
.
По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:
.
Абсолютная пропускная способность ( ) – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:
.
Вероятность отказа в обслуживании заявки равна вероятности состояния “канал занят”
Эта величина представляет собой среднюю долю не обслуженных заявок.
Пример. Одноканальная СМО с отказами представляет собой пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка – автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят – получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживания являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме параметры СМО.
Решение.
Интенсивность потока обслуживания
Относительная пропускная способность
,
что означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывших на пост автомобилей
Абсолютная пропускная способность т.е. пост способен обслужить в среднем 0,356 автомобилей в час.
Вероятность отказа , что означает, что около 65% прибывших на пост автомобилей получат отказ в обслуживании.
Так как номинальная пропускная способность системы равна
то фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания, в примерно в 1,5 (0,555/0,356) раза меньше номинальной.